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Equazioni differenziali  

  

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Salve, qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzioni delle equazioni differenziali?

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1 Risposta
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Ciao! 
Ci sono notevoli tipologie di equazioni differenziali, le quali si risolvono tutte in maniera differente.

Di seguito troverai uno schema generale su tali equazioni e sul Problema di Cauchy che è utile per la risoluzione.

Terminologia
Ogni funzione che verifica un'equazione differenziale si chiama soluzione o integrale dell'equazione. Il grafico di una soluzione si chiama curva integrale. L integrale (o soluzione) generale è l'insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell'equazione. L'ordine di un'equazione differenziale è dato dal massimo ordine della derivata che compare in essa.
Semplificazione comune
\[
\ln |y|=f(x)+c \quad y=e^{f(x)+c}
\]
Equazioni differenziali del primo ordine-soluzione generale del tipo: $y=f(x)+$ costante

-Semplici: $y^{\prime}=f(x)$ ovvero sono esplicitate rispetto alla derivata prima della funzione incognita $y$ come ad esempio: $y^{\prime}=2 x+1$

Isolare a sinistra dell'uguale la derivata prima e a destra tutto il resto, dopodichè integrare da entrambe le parti rispetto alla variabile $\mathbf{x}$
\[
\int y^{\prime} d x=\int f(x) d x
\]
Semplificare i risultati degli integrali per ottenere la soluzione finale.

-A variabili separabili: $y^{\prime}=g(x) \cdot h(y)$ con $g(x)$ ed $h(x)$ continue $\operatorname{ed} h(x) \neq 0$
Ricondursi alla forma normale. Riscrivere $\mathbf{y}^{\prime}$ come $\frac{d y}{d x}$ dopodichè moltiplicare entrambi i membri
dell'equazione per $\frac{1}{h(y)} d x \quad$ (y con il suo grado e coefficiente), in modo da avere solo y a sinistra e solo $x$ a destra. Integrare entrambi i membri dell'equazione e semplificare i risultati per ottenere la soluzione finale.

-Omogenee: $y^{\prime}=\frac{A(x ; y)}{B(x ; y)}$ con $A(x, y)$ e $B(x, y)$ polinomi omogenei di grado $n$
Ricondursi alla forma normale. Si pongono: $y=x u$ e $y^{\prime}=u+x u^{\prime}$ esi sostituiscono nell'equazione, che diventa a variabili separabili. Si trova la soluzione in u e poi si moltiplica per x per trovare il risultato finale (perché $y=x u$ ).

-Lineari: $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ con a(x)e b(x) funzioni note e continue o $\mathrm{Se} \mathrm{b}(\mathrm{x})=0$ è lineare omogenea. La soluzione è data da: $y=k e^{-\int a(x) d x} \quad k \in \mathbb{R}$ e costante
o $\mathrm{Se} \mathrm{b}(\mathrm{x}) \neq 0,$ la soluzione è data da: $y=e^{-\int a(x) d x} \cdot\left[\int\left(e^{\int a(x) d x} \cdot b(x)\right) d x+c\right]$

Equazioni differenziali del primo ordine-problema di Cauchy

Per avere un problema di Cauchy devo assegnare i valori di y e di tutte le sue derivate fino alla (n-1)-esima in uno stesso punto $\mathbf{x}_{0}$. Nel caso delle equazioni differenziali del primo ordine:
\[
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=f(x) \\
y_{0}=y\left(x_{0}\right)
\end{array}\right.
\]
La soluzione del sistema, se esiste, è unica ed è del tipo: $y=f(x)+$ costante trovata

Tecnica:
Si risolve l'equazione differenziale del primo ordine come nel caso generale. Successivamente nella soluzione si sostituisce ad $\mathbf{x}$ il valore assegnato ad $\mathbf{x}_{0}$ e ad $\mathbf{y}$ il valore assegnato a $\mathbf{y}_{0}$. Infine si risolve e si trova il valore di $\mathbf{c}$

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