Salve, qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzioni delle equazioni differenziali?
Salve, qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzioni delle equazioni differenziali?
Ciao!
Ci sono notevoli tipologie di equazioni differenziali, le quali si risolvono tutte in maniera differente.
Di seguito troverai uno schema generale su tali equazioni e sul Problema di Cauchy che è utile per la risoluzione.
Terminologia
Ogni funzione che verifica un'equazione differenziale si chiama soluzione o integrale dell'equazione. Il grafico di una soluzione si chiama curva integrale. L integrale (o soluzione) generale è l'insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell'equazione. L'ordine di un'equazione differenziale è dato dal massimo ordine della derivata che compare in essa.
Semplificazione comune
\[
\ln |y|=f(x)+c \quad y=e^{f(x)+c}
\]
Equazioni differenziali del primo ordine-soluzione generale del tipo: $y=f(x)+$ costante
-Semplici: $y^{\prime}=f(x)$ ovvero sono esplicitate rispetto alla derivata prima della funzione incognita $y$ come ad esempio: $y^{\prime}=2 x+1$
Isolare a sinistra dell'uguale la derivata prima e a destra tutto il resto, dopodichè integrare da entrambe le parti rispetto alla variabile $\mathbf{x}$
\[
\int y^{\prime} d x=\int f(x) d x
\]
Semplificare i risultati degli integrali per ottenere la soluzione finale.
-A variabili separabili: $y^{\prime}=g(x) \cdot h(y)$ con $g(x)$ ed $h(x)$ continue $\operatorname{ed} h(x) \neq 0$
Ricondursi alla forma normale. Riscrivere $\mathbf{y}^{\prime}$ come $\frac{d y}{d x}$ dopodichè moltiplicare entrambi i membri
dell'equazione per $\frac{1}{h(y)} d x \quad$ (y con il suo grado e coefficiente), in modo da avere solo y a sinistra e solo $x$ a destra. Integrare entrambi i membri dell'equazione e semplificare i risultati per ottenere la soluzione finale.
-Omogenee: $y^{\prime}=\frac{A(x ; y)}{B(x ; y)}$ con $A(x, y)$ e $B(x, y)$ polinomi omogenei di grado $n$
Ricondursi alla forma normale. Si pongono: $y=x u$ e $y^{\prime}=u+x u^{\prime}$ esi sostituiscono nell'equazione, che diventa a variabili separabili. Si trova la soluzione in u e poi si moltiplica per x per trovare il risultato finale (perché $y=x u$ ).
-Lineari: $y^{\prime}+a(x) y=b(x)$ con a(x)e b(x) funzioni note e continue o $\mathrm{Se} \mathrm{b}(\mathrm{x})=0$ è lineare omogenea. La soluzione è data da: $y=k e^{-\int a(x) d x} \quad k \in \mathbb{R}$ e costante
o $\mathrm{Se} \mathrm{b}(\mathrm{x}) \neq 0,$ la soluzione è data da: $y=e^{-\int a(x) d x} \cdot\left[\int\left(e^{\int a(x) d x} \cdot b(x)\right) d x+c\right]$
Equazioni differenziali del primo ordine-problema di Cauchy
Per avere un problema di Cauchy devo assegnare i valori di y e di tutte le sue derivate fino alla (n-1)-esima in uno stesso punto $\mathbf{x}_{0}$. Nel caso delle equazioni differenziali del primo ordine:
\[
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=f(x) \\
y_{0}=y\left(x_{0}\right)
\end{array}\right.
\]
La soluzione del sistema, se esiste, è unica ed è del tipo: $y=f(x)+$ costante trovata
Tecnica:
Si risolve l'equazione differenziale del primo ordine come nel caso generale. Successivamente nella soluzione si sostituisce ad $\mathbf{x}$ il valore assegnato ad $\mathbf{x}_{0}$ e ad $\mathbf{y}$ il valore assegnato a $\mathbf{y}_{0}$. Infine si risolve e si trova il valore di $\mathbf{c}$