{ y'= 2√y cos x
{ y(𝛑/2)= 4
Chi mi potrebbe spiegare il problema di Cauchy con questo esercizio? Perché mi è stato spiegato abbastanza superficialmente e cercando online, di come si risolvesse mi sono incasinato ancora di più le idee.
{ y'= 2√y cos x
{ y(𝛑/2)= 4
Chi mi potrebbe spiegare il problema di Cauchy con questo esercizio? Perché mi è stato spiegato abbastanza superficialmente e cercando online, di come si risolvesse mi sono incasinato ancora di più le idee.
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Livello 0
Verifichiamo le condizioni di esistenza.
1. CE
√y ⇒ y ≥ 0
Osserviamo che la condizione di partenza soddisfa il CE.
2. consideriamo due casi
2.1 y(x) = 0 è indubbiamente una soluzione dell'equazione differenziale che possiamo scartare visto che non soddisfa la condizione di partenza.
2.2 y(x) ≠ 0 In questo caso si tratta di una ODE a variabili separabili
dy/√y = 2*cosx dx
∫dy/√y = ∫2*cosx dx
2√y = 2 sinx + c
√y = sinx + c
3. Pb di Cauchy
y(𝛑/2)= 4
√2² = [sin(𝛑/2)+c]
|2| = 1+c
± 2 = 1+c
Analizziamo separatamente i due casi
i) + ; per cui 2 = 1+c ⇒ c = 1
La soluzione del problema è y(x) = (sinx + 1)²
ii) - ; per cui -2 = 1+c ⇒ c = -3
La soluzione del problema è anche y(x) = (sinx - 3)²
N.B. Non deve stupire che vi siano due soluzioni al problema di Cauchy. Sebbene le condizioni di esistenza siano verificate (vedi teorema di Peano) non sono verificate quelle di univocità. Lo si era visto già nella soluzione generale dove alla soluzione trovata si affiancava la soluzione banale y(x) = 0.
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Livello 1
Verifichiamo se "soluzione" contestata è proprio una soluzione del problema di Cauchy.
y(x) = (sinx-3)²
y'(x) = 2(sinx -3)*cosx = 2*√y*cosx
OK.
y(𝛑/2)=(1-3)² = 4
OK.
E' proprio una soluzione.
In un caso, come questo dove non vale il teorema di univocità il problema vero è dimostrare che quelle trovate sono tutte le soluzioni. Dimostrazione che non ho fatto.
Risolvi l'equazione differenziale e scegli l'integrale che soddisfa la condizone iniziale.
Nel nostro caso, si opera come segue.
Per separazione di variabili puoi scrivere
dy/(2 sqrt(y)) = cos x dx
integrando
sqrt(y) = sin x + C
imponendo la condizione iniziale
sqrt(4) = sin pi/2 + C
2 = 1 + C
c = 2 - 1 = 1
sqrt(y) = 1 + sin x
y = (1 + sin x)^2
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Livello 6
Scrivere la derivata come rapporto fra differenziali e sostituire
* y' = dy/dx
da cui
* y' = 2*(√y)*cos(x) ≡
≡ dy/dx = 2*(√y)*cos(x)
------------------------------
Moltiplicare membro a membro per "(dx/√y)"
* dy/dx = 2*(√y)*cos(x) ≡
≡ (dx/√y)*dy/dx = 2*(dx/√y)*(√y)*cos(x) ≡
≡ dy/√y = 2*cos(x)*dx
------------------------------
Integrare membro a membro
* ∫ dy/√y = 2*∫ cos(x)*dx ≡
≡ 2*√y = 2*(sin(x) + c) ≡
≡ y = (sin(x) + c)^2 = sin^2(x) + 2*c*sin(x) + c^2
VERIFICA
≡ y' = 2*(sin(x) + c)*cos(x) = 2*(√y)*cos(x)
------------------------------
Applicare la condizione iniziale
* y(π/2) = 4
* y = (sin(π/2) + c)^2 = 4 ≡ (c = - 3) oppure (c = 1)
da cui
* y = (sin(x) - 3)^2
oppure
* y = (sin(x) + 1)^2
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Genius I
@Dany_71
Orrore! sono le 15:50 e non ho ancora avuto notifica di questo commento registrato alle 14:22, eppure l'indirizzamento "@exprof" è visualizzato azzurrino, quindi è riconosciuto come tale. Boh, misteri del software dei sistemi complessi.
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Io non sono affatto d'accordo con le tacite ipotesi di "cmc".
Dal mio punto di vista il sistema
* (dy/dx = 2*(√y)*cos(x)) & (y(π/2) = 4)
è definito quasi ovunque tranne che per y = 0; ciò escluso è lecito scrivere
* (∫ dy/√y = 2*∫ cos(x)*dx) & (y(π/2) = 4)
e proseguire come ho scritto io (verifica compresa).
Il doppio risultato poi, per x reale, è reale non negativo: che vuoi di più?