Salve,
Vorrei sapere come si risolve questo esercizio di Cauchy con a sistema le seguenti due equazioni
y'=y/x-(x^3*y^4)
y(1)=1
Grazie!
Salve,
Vorrei sapere come si risolve questo esercizio di Cauchy con a sistema le seguenti due equazioni
y'=y/x-(x^3*y^4)
y(1)=1
Grazie!
6
punti
Livello 0
y' = y/x - x^3 y^4
poni v = y/x
y = v x
y' = v + x v'
sostituisci
v + x v' = v - x^3 * v^4 x^4
x v' = - v^4 x^7
separi le variabili
dv/dx = - x^6 v^4
- dv * v^(-4) = x^6 dx
integrando
- v^(-3)/(-3) = x^7/7 + C
1/(3 v^3) = x^7/7 + C
essendo y(1) = 1
v(1) * 1 = 1 => v(1) = 1
e allora 1/3 = 1/7 + C
C = (7-3)/21 = 4/21
per cui
1/(3 v^3) = 1/7 x^7 + 4/21
7/v^3 = 3x^7 + 4
v^3/7 = 1/(3x^7 + 4)
v^3 = 7/(3x^7 + 4)
v(x) = rad_3 [7/(3x^7 + 4)]
e infine y = x v(x) = x * rad_3 [7/(3x^7 + 4)]
Wolfram conferma che il risultato é esatto.
36952
punti
Livello 6
Scusami, ma mi sono persa un po' dopo questo passaggio..
essendo y(1) = 1 [...]
Dovrei ricavarmi la v per sostituire poi 1,giusto?Ma allora non avrò:
3v^-3=-x^7/7
E quindi poi:
1^-3=-1^7/21
?
No, il 3 sta a denominatore per cui 1/(3*1^3) = 1^7/7 + C
l'1 che sta a denominatore a sinistra é v(1) = y(1)/1
@eidosm Ah okok, grazie!