Siano ABC un triangolo equilatero di lato 4 cm e AH l’altezza relativa al lato CB. Sia P un punto appartenente ad AH. Determina AP tale che AP^2+pH^2+AH^2=39/2
Siano ABC un triangolo equilatero di lato 4 cm e AH l’altezza relativa al lato CB. Sia P un punto appartenente ad AH. Determina AP tale che AP^2+pH^2+AH^2=39/2
39
punti
Livello 0
Un generico punto P di AH ha coordinate P(2,y). Si tratterrà quindi di scrivere:
(√3/2·4 - y)^2 + y^2 + (√3/2·4)^2 = 39/2
La risolvi ed ottieni la posizione di P
(y^2 - 4·√3·y + 12) + y^2 + 12 = 39/2
2·y^2 - 4·√3·y + 24 = 39/2
4·(y^2 - 2·√3·y + 12) - 39 = 0
4·y^2 - 8·√3·y + 9 = 0
risolvi: y = 3·√3/2 ∨ y = √3/2 ossia: y = 0.866 cm ∨ y = 2.598 cm
accettabili entrambe.
(altezza triangolo AH = √3/2·4 = 3.464 cm)
78391
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Genius II
Con
* h = |AH| = (√3/2)*4 cm = 2*√3 cm
* x = |AP|
* h - x = |PH|
si ha
* "AP^2+pH^2+AH^2=39/2" ≡
≡ |AP|^2 + |PH|^2 + |AH|^2 = 39/2 ≡
≡ x^2 + (h - x)^2 + h^2 = 39/2 ≡
≡ x^2 - (2*√3)*x + (2*√3)^2 - 39/4 = 0 ≡
≡ x^2 - (2*√3)*x + 9/4 = 0 ≡
≡ (x - √3)^2 - (√3/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - √3 + √3/2)*(x - √3 - √3/2) = 0 ≡
≡ (x - √3/2)*(x - (3/2)*√3) = 0 ≡
≡ (x = √3/2 ~= 0.866 cm) oppure (x = (3/2)*√3 ~= 2.598 cm)
52158
punti
Genius I