Equazioni di secondo grado

parte a)

Dal confronto delle due equazioni espicite la risolvente é

(k^2 + 3) x^2 + 2kx - 1 = - 2x - 3/2

(k^2 + 3) x^2 + 2kx + 2x - 1 + 3/2 = 0

(k^2 + 3) x^2 + 2(k + 1) x + 1/2 = 0

Delta = 0

4(k + 1)^2 - 4*1/2 (k^2 + 3) = 0

4 k^2 + 8k + 4 - 2k^2 - 6 = 0

2k^2 + 8k - 2 = 0

k^2 + 4k - 1 = 0

k = (-2 +- rad(4+1))/1 = -2 +- rad(5)

Parte b)

Perché sia yV(k) = 0 dovrebbe essere

- D(k)/(4 A(k)) = 0

D(k) = 0

ma questo non può accadere perché qualunque sia k in R

A = k^2 + 3 é positivo e C = -1 é negativo.

Quando A e C sono discordi D é positivo e non può essere 0

perché D = B^2 - 4AC = B^2 + 4|AC| e quindi é la somma di due

quantità positive.

L'esercizio 184 è mal formulato, perché solo le rette parallele all'asse di simmetria intersecano la curva in un solo punto. Invece la retta
* t ≡ y = - 2*x - 3/2
ha pendenza m = - 2 e quindi, se interseca, lo fa in due punti; oppure, se tange, lo fa in un punto doppio. Ma di certo non può intersecare in un unico punto parabole con asse parallelo all'asse y.
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Le parabole della famiglia
* Γ(k) ≡ y = (k^2 + 3)*x^2 + 2*k*x - 1 ≡
≡ y = (k^2 + 3)*(x - (- k - √(2*k^2 + 3))/(k^2 + 3))*(x - (- k + √(2*k^2 + 3))/(k^2 + 3)) ≡
≡ y = (k^2 + 3)*(x + k/(k^2 + 3))^2 - (2*k^2 + 3)/(k^2 + 3)
hanno
* asse di simmetria x = - k/(k^2 + 3) parallelo all'asse y
* apertura a = k^2 + 3 > 0 quindi concavità rivolta verso y > 0
* zeri in x = X = (- k ± √(2*k^2 + 3))/(k^2 + 3)
* vertici V(- k/(k^2 + 3), - (2*k^2 + 3)/(k^2 + 3))
* pendenza m(x) = 2*(k^2 + 3)*(x + k/(k^2 + 3))
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a) Sostituendo "tange" a "interseca".
Il sistema
* t & Γ(k) ≡ (y = - 2*x - 3/2) & (y = (k^2 + 3)*x^2 + 2*k*x - 1)
ha risolvente
* (k^2 + 3)*x^2 + 2*k*x - 1 - (- 2*x - 3/2) = 0 ≡
≡ 2*(k^2 + 3)*x^2 + 4*(k + 1)*x + 1 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(k) = 8*(k^2 + 4*k - 1) = 0 ≡
≡ (k = - 2 - √5) oppure (k = - 2 + √5)
da cui
* Γ(- 2 - √5) ≡ y = 4*(3 + √5)*x^2 - 2*(2 + √5)*x - 1
* Γ(- 2 + √5) ≡ y = 4*(3 - √5)*x^2 - 2*(2 - √5)*x - 1
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-2*x-3%2F2%2Cy%3D4*%283--%E2%88%9A5%29*x%5E2-2*%282--%E2%88%9A5%29*x-1%2Cy%3D4*%283-%E2%88%9A5%29*x%5E2-2*%282-%E2%88%9A5%29*x-1%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-20to70
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b) Nei vertici V(- k/(k^2 + 3), - (2*k^2 + 3)/(k^2 + 3)) l'ordinata è negativa per ogni k reale.