[Risolto] Equazioni con i numeri immaginari e complessi, mi aiutate?

A) z^2 + 3iz +4=0

La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado vale non solo per i numeri reali ma anche per i numeri complessi. Da notare che in ℂ l'equazione ammette sempre soluzioni, che possono essere

-) due soluzioni distinte

-) due soluzioni coincidenti, ovvero una soluzione con molteplicità 2.

Applichiamo la formula risolutiva

z = [-3i±√((3i)²-4*4)]/2 =

= [-3i±√(-9-4*4)]/2 =

= [-3i±√(-25)]/2 =

= (-3i±5i)/2 

le due soluzioni sono 

• z₁ = i
• z₂ = -4i

 

B) z^4 + iz = 0

fattorizziamola

z*(z^3+i) = 0

Per il principio di identità dei polinomi si ottiene

• z₁ = 0 una prima soluzione

z^3+i = 0

z^3 = -i 

Esprimiamo il secondo membro in forma trigonometrica

-i = 1(cos(3π/2)+i*sin(3π/2))

Si tratta di determinare le radici cubiche dell'espressione. Applichiamo la formula di de Moivre

z = ³√1 * (cos(3π/(2*3) + k*2π/3) + i sin(3π/(2*3) + k *2π/3) ) con k=0,1,2

passiamo alle soluzioni:

• z₂ = 1*(cos(π/2)+i*sin(π/2)) = +i [calcolata per k=0]
• z₃ = (cos(π/2+2π/3) + i sin(π/2+2π/3) = cos(7π/6) + i sin(7π/6) = -√3/2 - i (1/2); [k=1]
• z₄ = (cos(π/2+4π/3) + i sin(π/2+4π/3) = cos(11π/6) + i sin(11π/6) = √3/2 - i (1/2); [k=2]

z^2 + 3iz +4=0

 

z^4 + iz=0

 

La prima    z^2 + 3iz + 4 = 0

la tratti come una normale equazione di II grado

ma seguendo le regole dei numeri complessi

z = (-3i +- rad(-9 - 16))/2 = (-3i +- 5i)/2 = -4i oppure i

Verifica :   i^2 + 3i * i + 4 = -1 - 3 + 4 = 0

-16 + 3i*(-4i) + 4 = -16 + 12 + 4 = 0

 

L'altra   z (z^3 + i) = 0

z = 0 V  z^3 = -i   = cos (3/2 pi) + i sin (3/2 pi)

Usando la formula di De Moivre e ricordando che |z| = rad_3 (1) = 1

 

z = cos ((3/2 pi + 2k pi)/3) + i sin ((3/2 pi + 2k pi)/3)  con k = 0, 1, 2.

Ti lascio le sostituzioni finali.

QUI TI SERVE RAMMENTARE E APPLICARE, DA CAPIRE C'E' POCO O NULLA.
------------------------------
Ogni equazione complessa
* f(z) = 0
si risolve tenendo conto del fatto che equivale a un sistema di due equazioni reali
* f(z) = 0 ≡ (Re[f(z)] = 0) & (Im[f(z)] = 0)
---------------
In particolare per le due equazioni polinomiali che proponi si può far precedere lo sdoppiamento in parti reale e immaginaria da qualche manipolazione algebrica di scomposizione ed applicarlo solo alla fine alle componenti semplici, se ancora occorre.
------------------------------
* z^2 + i*3*z + 4 = 0 ≡
≡ (z + i*3/2)^2 - (i*3/2)^2 + 4 = 0 ≡
≡ (z + i*3/2)^2 + 25/4 = 0 ≡
≡ (z + i*3/2)^2 - (i*5/2)^2 = 0 ≡
≡ (z + i*3/2 + i*5/2)*(z + i*3/2 - i*5/2) = 0 ≡
≡ (z + i*4)*(z - i) = 0 ≡
≡ (z = - i*4) oppure (z = i)
---------------
CONTROPROVA nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+z%5E2%2Bi*3*z%2B4%3D0
------------------------------
* z^4 + i*z = 0 ≡
≡ (z^3 + i)*z = 0 ≡
≡ (z = 0) oppure (z^3 + i = 0)
---------------
La somma di cubi si scompone ancora
* z^3 + i = 0 ≡
≡ z^3 + (- i)^3 = 0 ≡
≡ (z - i)*(z^2 - z*(- i) + (- i)^2) = 0 ≡
≡ (z = i) oppure (z^2 + i*z - 1 = 0)
---------------
* z^2 + i*z - 1 = 0
si tratta esattamente come il primo esercizio.
---------------
CONTROPROVA nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+z%5E4%2Bi*z%3D0