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[Risolto] equazioni

  

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ciao qualcuno può aiutarmi ?

Determina per quali valori di a l'equazione x^4+2ax^2-5a+6=0 ha quattro soluzioni reali distinte. Devo fare un sistema ?

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RIPASSI
Le quattro radici (X1, X2, X3, X4) di un'equazione biquadratica in "x" sono le due radici quadrate (X = ± √U) di ciascuna delle due radici (U1, U2) dell'equazione quadratica nella variabile sostituita "u = x^2".
Per essere reali tutte le X occorre che entrambe le U siano non negative.
Per essere distinte tutte le X occorre che lo siano le U e che inoltre nessuna delle due sia nulla (perché ± √0 non dà due valori distinti).
Cioè: le U devono essere positive e distinte; vale a dire che nell'equazione in "u" il discriminante dev'essere positivo e la sua radice quadrata dev'essere minore della somma delle radici.
------------------------------
APPLICAZIONE
* x^4 + 2*a*x^2 + 6 - 5*a = 0 ≡
≡ u^2 + 2*a*u + 6 - 5*a = 0
dove
* u = x^2 = variabile sostituita
* s = - 2*a = U1 + U2
* p = (6 - 5*a) = U1 * U2
da cui il discriminante
* Δ = s^2 − 4*p = (- 2*a)^2 − 4*(6 - 5*a) = 4*(a + 6)*(a - 1)
che è positivo per
* (a < - 6) oppure (a > 1)
mentre si ha
* √Δ < s ≡ √(4*(a + 6)*(a - 1)) < - 2*a ≡ a <= - 6
---------------
CONCLUSIONE
* ((a < - 6) oppure (a > 1)) & (a <= - 6) ≡ a < - 6
------------------------------
ESEMPII
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4%2B2*a*x%5E2%2B6-5*a%3D0+where+a%3D-8
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4%2B2*a*x%5E2%2B6-5*a%3D0+where+a%3D-6
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4%2B2*a*x%5E2%2B6-5*a+where+a%3D-4




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È un'equazione biquadratica, puoi cominciare sostituendo $t=x^2$ e riscrivendo l'equazione in $t$:

$t^2+2at-5a+6=0$ 

e cominciando a studiare le soluzioni in $t$

la ringrazio ora provo

 



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