[Risolto] Equazione irrazionale antipatica  

A) CONDIZIONI D'ESISTENZA e TIPI DI VALORE
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La f(x) a primo membro dell'equazione equivalente col secondo membro zero
* √(1/2 + √(4 - x^2)/4) + √(1/2 - √(4 - x^2)/4) = √((2 + x)/(2 + √(4 - x^2))) ≡
≡ f(x) = √(1/2 + √(4 - x^2)/4) + √(1/2 - √(4 - x^2)/4) - √((2 + x)/(2 + √(4 - x^2))) = 0
ammesso che "x" sia reale
1) è definita per ogni x (2 + √(4 - x^2) != 0 ovunque);
2) ha valori complessi per |x| > 2 (√(4 - x^2) è immaginario);
3) non ha valori immaginarii: li potrebbe avere solo con i tre radicandi negativi, cioè per
* ((|x| <= 2) & (2 + √(4 - x^2) < 0)) & (2 - √(4 - x^2) < 0) & ((2 + x)/(2 + √(4 - x^2)) < 0) ≡
≡ (falso) & (irrilevante) & (irrilevante) ≡ FALSO;
4) potrebbe avere valori complessi anche dove i due ultimi radicandi sono discordi
* (|x| <= 2) & ((2 - √(4 - x^2))*(2 + x)/(2 + √(4 - x^2)) < 0) ≡ FALSO;
5) altrove (- 2 <= x <= 2) ha valori reali.
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B) SEMPLIFICAZIONI
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1) √(1/2 + √(4 - x^2)/4) = √(2 + √(4 - x^2))/2
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2) √(1/2 - √(4 - x^2)/4) = √(2 - √(4 - x^2))/2
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3) √((2 + x)/(2 + √(4 - x^2))) = √(4*(2 + x)/(2 + √(4 - x^2)))/2
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4) √(1/2 + √(4 - x^2)/4) + √(1/2 - √(4 - x^2)/4) - √((2 + x)/(2 + √(4 - x^2))) = 0 ≡
≡ √(2 + √(4 - x^2)) + √(2 - √(4 - x^2)) - √(4*(2 + x)/(2 + √(4 - x^2))) = 0
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C) RISOLUZIONE
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Nel calcolo per successive quadrature (isolare una radice; quadrare membro a membro) si possono introdurre radici spurie, perciò occorre che alla fine si verifichi che ogni radice nell'intervallo A5 soddisfaccia all'equazione B4 semplificata.
* √(2 + √(4 - x^2)) + √(2 - √(4 - x^2)) - √(4*(2 + x)/(2 + √(4 - x^2))) = 0 ≡
≡ (√(2 + √(4 - x^2)) + √(2 - √(4 - x^2)))^2 = 4*(2 + x)/(2 + √(4 - x^2)) ≡
≡ 2*(2 + √(x^2)) = 4*(2 + x)/(2 + √(4 - x^2)) ≡
≡ √(x^2) = 2*(2 + x)/(2 + √(4 - x^2)) - 2 ≡
≡ ... e così via, fino a ottenere ... ≡
≡ x = 2
per cui
* √(2 + √(4 - 2^2)) + √(2 - √(4 - 2^2)) - √(4*(2 + 2)/(2 + √(4 - 2^2))) = 0
e quindi la si accetta per buona.

Sostituisco radice(4-x²) con y, dopo di che moltiplico tutto per 2 (che dentro la radice diventa 4) in modo da togliermi le frazioni

Ottengo:

Radice(2+y) + radice(2-y)= 2*radice(2+x/2+y)

Elevo alla seconda e faccio i conti:

 4 + radice(4-y²)= (8+4x)/(2+y)

Bisogna notare che radice(4-y²)=|x| e questo ci fa scrivere 

4+ |x| = (8+4x)/(2+y)

Ora consideriamo i due casi imposti dal valore assoluto

1) x>=0 - - - > |x|= +x

Moltiplico il denominatore e sistemo:

4y + xy = 2x

Questa la scrivo come:

y= 2x/(4+x)

Elevo alla seconda e sostituisco la y²

4-x² = 4x²/(16+x²+8x)

Moltiplico il denominatore 

64 + 32x - 16x²- x⁴- 8x³=0

x⁴+8x³+16x²-32x-64=0

2)x<0 - - - > |x|= -x

Stesso procedimento di prima

4y - xy = 6x

y=6x/(4-x)

4-x²=36x²/(16+x²-8x)

64 + 4x²-32x-16x²-x⁴+8x³=36x²

x⁴-8x³+48x²+32x-64=0

Ho pensato  di utilizzare le formule di scomposizione dei radicali doppi. In realtà la strada è abbastanza complessa anche in quel modo, mi sono reso conto.