‘Equazione goniometrica’

In base alla formula d'addizione del seno si ottiene quella dell'angolo aggiunto
* A*sin(x + y) = a*sin(x) + b*cos(x) = (√(a^2 + b^2))*sin(x + arctg(b/a))
NEL CASO IN ESAME
* a = 1
* b = - (√2 - 1)
* A = √(1^2 + (- (√2 - 1))^2) = √(2*(2 - √2))
* y = arctg(- (√2 - 1)) = - π/8
quindi
* sin(x) - (√2 - 1)*cos(x) = (√(2*(2 - √2)))*sin(x - π/8) = 0 ≡
≡ sin(x - π/8) = 0 ≡
≡ x - π/8 = arcsin(0) ≡
≡ x = π/8 + arcsin(0) = π/8 + k*π

@karn

Ciao e benvenuto/a

SIN(x) - (√2 - 1)·COS(x) = 0

riscriviamola come:

SIN(α) - (√2 - 1)·COS(α) = 0

Poniamo: 

{COS(α) = Χ

{SIN(α) = Υ

facendo riferimento al cerchio goniometrico scriviamo:

{Υ - (√2 - 1)·Χ = 0

{Χ^2 + Υ^2 = 1

Quindi risolviamo per sostituzione:

Υ = Χ·(√2 - 1)------> Χ^2 + (Χ·(√2 - 1))^2 = 1

Χ^2 + Χ^2·(3 - 2·√2) = 1-----> Χ^2·(4 - 2·√2) - 1 = 0

otteniamo: Χ = - √(√2 + 2)/2 ∨ Χ = √(√2 + 2)/2

per Χ = - √(√2 + 2)/2 si ha:

Υ = (- √(√2 + 2)/2)·(√2 - 1)------> Υ = - √(2 - √2)/2 quindi:

{COS(α) = - √(√2 + 2)/2

{SIN(α) = - √(2 - √2)/2

che fornisce come soluzione: α = 9·pi/8

per Χ = √(√2 + 2)/2 si ha:

Υ = √(√2 + 2)/2·(√2 - 1)---------> Υ = √(2 - √2)/2

Quindi:

{COS(α) = √(√2 + 2)/2

{SIN(α) = √(2 - √2)/2

che fornisce come soluzione: α = pi/8

tenendo conto di queste due possibilità la soluzione è:  pi/8 + k·pi