[Risolto] Equazione della sfera

{x^2 + y^2 + z^2 - 2·x - 2·y - 2·z = 0

{x + 2·y + z = 0

è la circonferenza nello spazio (x,y,z)

La sfera data dalla prima equazione ha:

Centro in [1, 1, 1]

si può anche scrivere:

(x^2 - 2·x + 1) + (y^2 - 2·y + 1) + (z^2 - 2·z + 1) = 3

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 3

quindi raggio r =√3

La sfera che si vuole trovare deve avere un'equazione  del tipo:

x^2 + y^2 + z^2 - 2·x - 2·y - 2·z + λ·(x + 2·y + z) = 0

con λ da determinare

Sistemiamo meglio:

x^2 + y^2 + z^2 + x·(λ - 2) + y·(2·λ - 2) + z·(λ - 2) = 0

Quindi sempre una sfera passante per l'origine del sistema di riferimento.

Scriviamo ora l'equazione parametrica di una retta passante per il centro [1,1,1] e perpendicolare al piano che genera la circonferenza comune alle due sfere. Quindi:

{x = 1 + 1·t

{y = 1 + 2·t

{z = 1 + 1·t

Vediamo quindi il punto in cui questa retta buca il piano: 2·x + y - z + 1 = 0 su cui deve esserci il centro della nuova sfera incognita. Ricerchiamo quindi t:

2·(1 + t) + (1 + 2·t) - (1 + t) + 1 = 0

3·t + 3 = 0-----> t = -1

Quindi:

{x = 1 + 1·(-1) = 0

{y = 1 + 2·(-1) = -1

{z = 1 + 1·(-1) = 0

Considerando quindi l'equazione ottenuta in precedenza:

x^2 + y^2 + z^2 + x·(λ - 2) + y·(2·λ - 2) + z·(λ - 2) = 0

si deve avere λ = 2 per cui la sfera cercata è: 

x^2 + y^2 + z^2 + 2·y = 0

 

La sfera
* σ ≡ x^2 + y^2 + z^2 − 2*x − 2*y − 2*z = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 3
di centro K(1, 1, 1) e raggio r = √3 interseca qualsiasi piano α secante su una circonferenza Γ(α) di centro C(α); sulla congiungente KC(α) ≡ p, ortogonale ad α per C, deve giacere il centro di ogni sfera che contiene Γ(α); quello C(π) della sfera richiesta dev'essere la soluzione del sistema "p & π", mentre il raggio R è la distanza di C(π) da un qualunque punto di Γ (p.es. l'origine, che è su Γ: si vede!).
C(α) si determina come l'unico punto di α equidistante da tre punti di Γ(α).
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Lo svolgimento deve iniziare cercando punti sulla Γ data.
* σ ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 3
* α ≡ x + 2*y + z = 0 ≡ z = - (x + 2*y)
* Γ(α) ≡ α & σ ≡ (z = - (x + 2*y)) & ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 3) ≡
≡ (z = - (x + 2*y)) & ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (- (x + 2*y) - 1)^2 = 3) ≡
≡ (z = - (x + 2*y)) & (2*x^2 + 4*x*y + 5*y^2 + 2*y = 0) ≡
≡ (z = - (x + 2*y)) & (y = (- (2*x + 1) ± √(5/3 - 6*(x - 1/3)^2))/5)
AD ESEMPIO
Per x = 0 si ha
* y = (- 1 ± 1)/5 ≡ (y = 0) oppure (y = - 2/5) → (z = 0) oppure (z = 4/5)
cioè O(0, 0, 0) oppure U(0, - 2/5, 4/5)
Per x = 1/3 si ha
* y = - 1/3 ± 1/√15 ≡ (y = - 1/3 - 1/√15) oppure (y = - 1/3 + 1/√15) →
→ (z = 1/3 + 2/√15) oppure (z = 1/3 - 2/√15)
cioè V(1/3, - 1/3 - 1/√15, 1/3 + 2/√15) oppure W(1/3, - 1/3 + 1/√15, 1/3 - 2/√15)
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Poi si cerca C(α) ≡ C(x, y, z).
* |CU|^2 = x^2 + (y + 2/5)^2 + (z - 4/5)^2
* |CV|^2 = (x - 1/3)^2 + (y + 1/√15 + 1/3)^2 + (z - 2/√15 - 1/3)^2
* |CW|^2 = (x - 1/3)^2 + (y - 1/√15 + 1/3)^2 + (z + 2/√15 - 1/3)^2
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* |CU|^2 = |CV|^2 = |CW|^2 ≡
≡ x^2 + (y + 2/5)^2 + (z - 4/5)^2 = (x - 1/3)^2 + (y + 1/√15 + 1/3)^2 + (z - 2/√15 - 1/3)^2 = (x - 1/3)^2 + (y - 1/√15 + 1/3)^2 + (z + 2/√15 - 1/3)^2 ≡
≡ (y = 2*x - 1) & (z = x)
questa è la congiungente KC(α) ≡ p.
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Il C(α) è l'intersezione con α
* (y = 2*x - 1) & (z = x) & (z = - (x + 2*y)) ≡ C(α) ≡ C(1/3, - 1/3, 1/3)
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Il C(π) è l'intersezione con π
* (y = 2*x - 1) & (z = x) & (2*x + y − z + 1 = 0) ≡ C(π) ≡ C(0, - 1, 0)
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INFINE
* R = |OC(π)| = 1
e la sfera richiesta
* σ' ≡ x^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 1 ≡
≡ x^2 + y^2 + z^2 + 2*y = 0