[Risolto] Equazione della circonferenza

Ciao,

 

Per determinare l'equazione della circonferenza inscritta in un triangolo dobbiamo avere:

 - il centro della circonferenza;

- il raggio.

 

 

Il centro di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo è l'incentro, cioè il punto di incontro delle bisettrici del triangolo.

 

Per le coordinate dell'incentro, ricorriamo alla formula:

$\left ( x_{I},y_{I} \right )=\left ( \frac{ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{2p},\frac{ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{2p} \right ) $

 

dove A, B, C sono i vertici del triangoli e a = BC, b = AC, c = AB sono le lunghezze dei lati opposti agli omonimi vertici.

 

Quindi occorre:

1.determinare i punti di intersezione delle tre rette a due a due;

determiniamo i punti di intersezione delle tre rette a due a due.

 

$\begin{cases}y-5=0\\24x+7y+133=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}y=5\\24x+7(5)+133=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}y=5\\24x+35+133=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}y=5\\24x+168=0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}y=5\\24x=-168\end{cases}\rightarrow\begin{cases}y=5\\x=-7\end{cases}$

 

Quindi $A(-7,5)$

 

$\begin{cases}2x+7y+133=0\\x+-y+5-3\sqrt{2}=0\end{cases}\rightarrow$$\begin{cases}2x+7y+133=0\\ x=y-5+3\sqrt{2}\end{cases}\rightarrow$$\begin{cases}2\left(y-5+3\sqrt{2}\right)+7y+133=0\\ x=y-5+3\sqrt{2}\end{cases}\rightarrow$$\begin{cases}2y-10+6\sqrt{2}+7y+133=0\\ x=y-5+3\sqrt{2}\end{cases}\rightarrow$

$\begin{cases}9y+123+6\sqrt{2}=0\\ x=y-5+3\sqrt{2}\end{cases}\rightarrow$$\begin{cases}y=-\frac{123}{9}-\frac{6\sqrt{2}}{9}\\ x=y-5+3\sqrt{2}\end{cases}\rightarrow$$\begin{cases}y=-\frac{41}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ x=y-5+3\sqrt{2}\end{cases}\rightarrow$$\begin{cases}y=-\frac{41}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ x=-\frac{41}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}-5+3\sqrt{2}\end{cases}\rightarrow$$\begin{cases}y=-\frac{41}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ x=\frac{-41-15}{3}+\frac{-2\sqrt{2}+9\sqrt{2}}{3}\end{cases}\rightarrow$

$\begin{cases}y=-\frac{41}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=0\\ x=-\frac{56}{3}+\frac{7\sqrt{2}}{3}\end{cases}$

 

Quindi

$B\left(\frac{56}{3}+\frac{7\sqrt{2}}{3},-\frac{41}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$

 

 

2.determiniamo le lunghezze dei lati;

3.calcolare le coordinate dell'incentro con la formula precedente;

4.calcolare la distanza dell'incentro da uno dei tre lati, con la formula della distanza punto retta.

Tale distanza è il raggio della circonferenza cercata.

Scrivere l'equazione della circonferenza:

$\left ( x-x_{I} \right )^{2}+\left ( y-y_{I} \right )^{2}=r^{2}$

 

a dopo con lo svolgimento numerico.