[Risolto] problema circonferenza urgente

Ciao!

Partiamo dall'equazione generica della circonferenza: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = r^2$

imponiamo il passaggio per i punti:

Punto A: $ (1-x_c)^2 + (2-y_c)^2 = r^2 $
Punto B: $(3-x_c)^2+(4-y_c)^2 = r^2$

ma sappiamo che il centro deve stare sulla retta $x-3y -2 = 0$, da cui

$ x_c -3y_c-1 = 0 \ \Rightarrow x_c = 3y_c+1 $

Mettiamo tutte queste condizioni a sistema:

$\begin{cases}(1-(3y_c+1))^2 + (2-y_c)^2 = r^2 \\  (3-(3y_c+1))^2+(4-y_c)^2 = r^2 \end{cases} $

e usiamo la tecnica del confronto, poiché entrambe le equazioni sono $ = r^2$

$(1-(3y_c+1))^2 + (2-y_c)^2  = (3-(2y_c+1))^2+(4-y_c)^2$

$(-3y_c)^2+4+y_c^2-4y_c = (-3y_c +2)^2 + 16 + y_c^2 -8y_c $

$9y^2 +4+y_c^2-4y_c = 9y_c^2 +4 -12y_c +16 + y_c^2 -8y_c $

$16y_c = 16 \Rightarrow y_c = 1$

che ci dà come raggio, usando la prima equazione:

$ r^2 = (-3\cdot 1 )^2 + (2-1)^2 = 9+1 = 10 $

Inoltre, tornando all'equazione della retta, possiamo trovare $x_c$:

$x_c = 3y_c +1 = 3 \cdot 1 + 1 = 3 +1 = 4$

quindi la circonferenza cercata è:

$(x-4)^2 + (y-1)^2 = 10 $