[Risolto] Equazione della circonferenza (es. 280)

Conviene risolverlo con il fascio di circonferenze tangenti alla retta e tra queste determinare quelle  che passano per P(1,0)

1. Coordinate del punto di tangenza T(-2,yT)

 xT-2yT+4=0

-2-2yT+4 = 0 cioè yT = 2/2 = 1

T(-2,1)

2. Equazioni del fascio di circonferenze tangenti alla retta x-2y+4=0 in T(-2,1)

Scegliamo come generatrici due circonferenze degeneri la prima di raggio r=0 e la retta tangente (circonferenza di raggio infinito)

(x+2)²+(y-1)²+k(x-2y+4)=0

3. determiniamo il valore di k per la circonferenza che passa per P(1,0)

Sostituiamo le coordinate nell'equazione

3²+1+k+4k = 0 

k = -2

L'equazione della circonferenza cercata è

(x+2)²+(y-1)²-2(x-2y+4)=0

x²+y²+2x+2y-3 = 0

4. Grafici.

Sappiamo che la circonferenza è tangente alla retta $r:x-2y+4=0$ nel punto di ascissa $x=-2$, quindi calcoliamo la sua immagine sull'asse delle ordinate $f(-2)=1$, adesso calcoliamo la retta perpendicolare al punto $A=(-2,1)$ appena trovato. Sappiamo che affinchè la retta sia perpendicolare si ha $m_{r}m_{A}=-1$ quindi il coefficiente angolare della retta perpendicolare passante per il punto $A$ sarà $m_{A}=-2$. Ora troviamo l'equazione della retta perpendicolare $y-y_{A}=m_{A}(x-x_{A})= y-1=-2(x+2)$ l'equazione è dunque $r_{2}:y=-2x-3$.Cerchiamo la retta passante per il punto $P$ che sarà parallela alla retta $r$: $y-0=1/2(x-1)$ e avremo $r_{3}: y=1/2x-1/2$ Adesso mettendo a sistema le rette $r_{2}$ e $r_{3}$ troviamo il punto d'intersezione che corrisponde alle coordinate del centro della circonferenza, $C=(-1,-1)$ . Una volta trovato il centro per calcolare il raggio basta determinare la distanza tra i punti $C$ e $P$ $r=\sqrt {(x_{P}-x_{C})^{2}+(y_{P}-y_{C})^{2}}=\sqrt {(1+1)^{2}+(0+1)^ {2}}=\sqrt {5}$.

A questo punto possiamo scrivere l'equazione della circonferenza $(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5$

o in forma canonica: $x^{2}+y^{2}+2x+2y-3=0$

@mirea00

Ciao. Riscrivo il testo:

Determina l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione x-2y+4=0 nel suo punto di ascissa -2 e passante per P(1;0)".

E NO! ALLORA NOI DUE ABBIAMO UN PROBLEMA D'INCOMUNICABILITA'.
O sono io che non capisco ciò che scrivi, o viceversa (o tutt'e due).
Siamo in un film di Antonioni a nostra insaputa?
Tu, alle 18:27, mi scrivi
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/22299/
d'aver apprezzato la mia risposta dove ti suggerivo un modo di localizzare il centro
«Se è detto che dev'essere tangente alla retta "t" nel punto "T", vuol dire che il centro C dev'essere sulla retta "p" perpendicolare a "t" per "T".»
e poi, alle 18:35, DOPO SOLI OTTO MINUTI già te ne sei dimenticata, pubblichi questa domanda e ricominci il giro delle vigne dell'arciprete?
DEVI SOLO TROVARE CENTRO E RAGGIO.
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Tangente la retta
* t ≡ x - 2*y + 4 = 0 ≡ y = x/2 + 2
nel suo punto T(- 2, 1) di ascissa -2, vuol dire che il centro C giace sulla retta
* p ≡ y = - (2*x + 3)
perpendicolare a "t" per "T".
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Ogni circonferenza per i punti P(1, 0) e T(- 2, 1) è centrata sull'asse del loro segmento, la retta "s", luogo dei punti da essi equidistanti
* s ≡ y = 3*x + 2
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Pertanto si possono calcolare prima il centro
* s & t ≡ (y = 3*x + 2) & (y = x/2 + 2) ≡ C(0, 2)
e poi da esso "q", il quadrato del raggio
* q = |CP|^2 = (0 - 1)^2 + (2 - 0)^2 = 5
* q = |CT|^2 = (0 + 2)^2 + (2 - 1)^2 = 5
e infine scrivere la circonferenza richiesta
* Γ ≡ x^2 + (y - 2)^2 = 5 ≡ x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0