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[Risolto] Equazione della circonferenza (es. 280)

  

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"Determina l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione x-2y+4=0 nel suo punto di ascissa -2 e passante per P(1;0)".

Ho imposto il passaggio della circonferenza per questi due punti, sostituito i coefficienti b e c trovati (risultato del sistema) nella sua equazione che ho messo a sistema con x-2y+4=0. Ho posto la condizione di tangenza delta=0 ciononostante ho ottenuto a=0,3 e non a=2. Sbaglio la via che imbocco o semplicemente i calcoli?

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Conviene risolverlo con il fascio di circonferenze tangenti alla retta e tra queste determinare quelle  che passano per P(1,0)

 

1. Coordinate del punto di tangenza T(-2,yT)

 xT-2yT+4=0

-2-2yT+4 = 0 cioè yT = 2/2 = 1

T(-2,1)

 

 

2. Equazioni del fascio di circonferenze tangenti alla retta x-2y+4=0 in T(-2,1)

Scegliamo come generatrici due circonferenze degeneri la prima di raggio r=0 e la retta tangente (circonferenza di raggio infinito)

(x+2)²+(y-1)²+k(x-2y+4)=0

 

3. determiniamo il valore di k per la circonferenza che passa per P(1,0)

Sostituiamo le coordinate nell'equazione

3²+1+k+4k = 0 

k = -2

L'equazione della circonferenza cercata è

(x+2)²+(y-1)²-2(x-2y+4)=0

x²+y²+2x+2y-3 = 0

 

4. Grafici.

desmos graph (14)




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Sappiamo che la circonferenza è tangente alla retta $r:x-2y+4=0$ nel punto di ascissa $x=-2$, quindi calcoliamo la sua immagine sull'asse delle ordinate $f(-2)=1$, adesso calcoliamo la retta perpendicolare al punto $A=(-2,1)$ appena trovato. Sappiamo che affinchè la retta sia perpendicolare si ha $m_{r}m_{A}=-1$ quindi il coefficiente angolare della retta perpendicolare passante per il punto $A$ sarà $m_{A}=-2$. Ora troviamo l'equazione della retta perpendicolare $y-y_{A}=m_{A}(x-x_{A})= y-1=-2(x+2)$ l'equazione è dunque $r_{2}:y=-2x-3$.Cerchiamo la retta passante per il punto $P$ che sarà parallela alla retta $r$: $y-0=1/2(x-1)$ e avremo $r_{3}: y=1/2x-1/2$ Adesso mettendo a sistema le rette $r_{2}$ e $r_{3}$ troviamo il punto d'intersezione che corrisponde alle coordinate del centro della circonferenza, $C=(-1,-1)$ . Una volta trovato il centro per calcolare il raggio basta determinare la distanza tra i punti $C$ e $P$ $r=\sqrt {(x_{P}-x_{C})^{2}+(y_{P}-y_{C})^{2}}=\sqrt {(1+1)^{2}+(0+1)^ {2}}=\sqrt {5}$.

A questo punto possiamo scrivere l'equazione della circonferenza $(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5$

o in forma canonica: $x^{2}+y^{2}+2x+2y-3=0$

circonferenza
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@mirea00

Ciao. Riscrivo il testo:

Determina l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione x-2y+4=0 nel suo punto di ascissa -2 e passante per P(1;0)".

Determino il punto di tangenza A inserendo la sua ascissa nell'equazione della tangente:
-2 - 2·y + 4 = 0---->y = 1 quindi A(-2,1)
Esplicito la retta tangente: y = x/2 + 2  (m'=1/2)
Il centro della circonferenza C sta su una retta perpendicolare a questa con coefficiente angolare pari a
m=-2. Determino quindi tale retta.
y = - 2·x + q per A(-2,1)------> 1 = - 2·(-2) + q----->1 = q + 4---> q = -3
Quindi:  y = - 2·x - 3
Il centro della circonferenza deve avere coordinate pari a C(x,- 2·x - 3)
Impongo quindi l'equidistanza di C da A(-2,1) e da P(1,0): CA = CP
Quindi:
√((-2 - x)^2 + (1 - (- 2·x - 3))^2) = √((1 - x)^2 + (0 - (- 2·x - 3))^2)
elevo al quadrato:
(x^2 + 4·x + 4) + (4·x^2 + 16·x + 16) = (x^2 - 2·x + 1) + (4·x^2 + 12·x + 9)
sviluppo:
5·x^2 + 20·x + 20 = 5·x^2 + 10·x + 10
Risolvo:
x = -1
Centro C della circonferenza:  x=-1----->y=- 2·(-1) - 3=-1---->C(-1,-1)
raggio della circonferenza:
√((-2 - (-1))^2 + (1 - (- 2·(-1) - 3))^2) =√5
Equazione cartesiana: (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = √5^2
Equazione implicita: x^2 + y^2 + 2·x + 2·y - 3 = 0
image

@LucianoP L'ho copiato su Word e il testo è apparso come da standard.. e posso solo dirti questo. Ho sempre pensato che le lacune accumulate dagli studenti nelle discipline scientifiche fossero dovute alla mancanza di corrispondenza tra la modalità di concepire e operare tra docente e alunno più che a un deficit di qualsivoglia tipo (escluso il disinteresse). Questa risoluzione invece sposa perfettamente la maniera in cui l'avrei risolto io ma mi mancava un elemento essenziale ovvero la y del punto di tangenza (ho trovato tanti punti di intersezione esercitandomi, chissà perché non ho pensato di potermela ricavare a questa maniera). Questo continuo flusso che mi porta a postare diversi problemi è la ricerca di un metodo risolutivo che mi cada addosso come un abito su misura e tu sei quello che generalmente mi è più affine. Non è un merito, neppure un complimento ma un dato di fatto però ti devo invece riconoscere il merito di avermi aiutato più volte a progredire quindi grazie infinite!

Certamente il non plus ultra sarebbe possedere l'elasticità sufficiente per risolvere un quesito con metodi diversi ma per quello ci vuole ancora tempo, padronanza e prima di tutto tanta pratica estenuante..

@mirea00

Ciao. Faccio quello che posso. Può anche darsi che qui stiamo mia forza e lo faccio volentieri come se fossi uno studente come te. Grazie della tua riconoscenza..




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E NO! ALLORA NOI DUE ABBIAMO UN PROBLEMA D'INCOMUNICABILITA'.
O sono io che non capisco ciò che scrivi, o viceversa (o tutt'e due).
Siamo in un film di Antonioni a nostra insaputa?
Tu, alle 18:27, mi scrivi
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/22299/
d'aver apprezzato la mia risposta dove ti suggerivo un modo di localizzare il centro
«Se è detto che dev'essere tangente alla retta "t" nel punto "T", vuol dire che il centro C dev'essere sulla retta "p" perpendicolare a "t" per "T".»
e poi, alle 18:35, DOPO SOLI OTTO MINUTI già te ne sei dimenticata, pubblichi questa domanda e ricominci il giro delle vigne dell'arciprete?
DEVI SOLO TROVARE CENTRO E RAGGIO.
------------------------------
Tangente la retta
* t ≡ x - 2*y + 4 = 0 ≡ y = x/2 + 2
nel suo punto T(- 2, 1) di ascissa -2, vuol dire che il centro C giace sulla retta
* p ≡ y = - (2*x + 3)
perpendicolare a "t" per "T".
------------------------------
Ogni circonferenza per i punti P(1, 0) e T(- 2, 1) è centrata sull'asse del loro segmento, la retta "s", luogo dei punti da essi equidistanti
* s ≡ y = 3*x + 2
------------------------------
Pertanto si possono calcolare prima il centro
* s & t ≡ (y = 3*x + 2) & (y = x/2 + 2) ≡ C(0, 2)
e poi da esso "q", il quadrato del raggio
* q = |CP|^2 = (0 - 1)^2 + (2 - 0)^2 = 5
* q = |CT|^2 = (0 + 2)^2 + (2 - 1)^2 = 5
e infine scrivere la circonferenza richiesta
* Γ ≡ x^2 + (y - 2)^2 = 5 ≡ x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0

@exProf A mia discolpa posso dire che cercavo di seguire il metodo proposto dal Bergamini 😇 .. però in effetti alcuni di quelli che mi sono stati proposti in alternativa si sposano meglio col mio modus operandi

IMG 20210602 085919

Potrei dire tante cose ma posto un esercizio perché mi si domanda perché continuo a complicarmi la vita.. Si apprende per imitazione.. (da trascurare la scrittura a matita, riguarda un altro esercizio)  😀 

E' anche vero che avrei dovuto tenere presente le annotazioni fatte su più esercizi ma spesso mi capita di leggerle con attenzione giorni dopo perché in primis passo da una materia all'altra e anche perché cerco di proseguire nonostante le carenze per evitare il senso di angoscia che mi dà rimanere statica su un esercizio.. torno poi indietro come un gambero (pessimo metodo, me ne rendo conto, ma è un metodo basato sull'emotività, non su ciò che razionalmente è giusto fare). Mi dà un po' di pace e quindi va bene, almeno per questa fase 

Risposta



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