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[Risolto] Problema di matematica

  

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In figura è rappresentato il grafico della funzione $g(x)=f^{\prime}(x)$. I tratti $A B$ e $B C$ sono segmenti di retta, il tratto $C D E$ appartiene a un arco di parabola con asse parallelo all'asse $y, \mathrm{e}$ in $C$ la funzione $g(x)$ è derivabile.

a. Sapendo che $f(0)=0$, calcola $f(2)$ e $f(4)$, quindi traccia un grafico plausibile della funzione $f(x)$.

b. Ricava l'espressione analitica di $g(x)$, quindi calcola $f(8) \mathrm{e}$ $f(10)$

c. Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse $x$ dell'arco di parabola $\widetilde{C D}$.

(a) $f(2)=6, f(4)=10 ;$ b) $f(8)=\frac{14}{3}, f(10)=10 ;$ c) $\left.\frac{128}{15} \pi\right]$

Qualcuno può aiutarmi con questo problema? Spiegandomi bene i passaggi

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1 Risposta
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@newoasi

Ciao.

Il grafico della funzione g(x)=dy/dx appare continuo nei tratti dati e precisamente:

in AB lineare; in BC lineare; CDE parabolico

La funzione y si dovrà ottenere da questa funzione g per integrazione sulla base delle condizioni iniziali poste dal problema.

Possiamo subito dire quanto segue relativamente ai tratti che si dovranno ottenere:

in AB parabolico (2° grado); in BC parabolico (2° grado); CDE cubico (3° grado)

Proseguirò nel pomeriggio. Ora devo uscire.

Riprendo.

Tratto AB lineare:

(0,2) 

(2,4)

(y - 2)/(x - 0) = (4 - 2)/(2 - 0) ----> y = x + 2

Tratto BC lineare:

(2, 4)

(4, 0)

(y - 4)/(x - 2) = (0 - 4)/(4 - 2) ------> y = 8 - 2·x

Tratto CDE parabolico:

y = a·x^2 + b·x + c si semplifica perché si conoscono gli zeri

y = a·(x - 4)·(x - 8)

a si determina imponendo il passaggio per (10, 6)

6 = a·(10 - 4)·(10 - 8)---->  6 = 12·a----> a = 1/2

Quindi: y = 1/2·(x - 4)·(x - 8)  ---> y = x^2/2 - 6·x + 16

Passiamo ora agli integrali:

∫ (x + 2) dx = x^2/2 + 2·x tenendo conto che f(0)=0 (y=0)

f(2)=2^2/2 + 2·2=6-----> f(2)=6

∫ (8 - 2·x) dx  = 8·x - x^2 + c------>  per (2,6) condizioni iniziali

6 = 8·2 - 2^2 + c------> 6 = c + 12----> c = -6

quindi: y = - x^2 + 8·x - 6

per x=4-----> y = - 4^2 + 8·4 - 6-----> y = 10----> f(4)=10

per il tratto parabolico:

∫(x^2/2 - 6·x + 16)dx = x^3/6 - 3·x^2 + 16·x + c

f(4)=10-----> 10 = 4^3/6 - 3·4^2 + 16·4 + c----> 10 = c + 80/3----> c = - 50/3

y = x^3/6 - 3·x^2 + 16·x - 50/3

f(8)= y = 8^3/6 - 3·8^2 + 16·8 - 50/3------> y = 14/3

f(8)=14/3

f(10)= y = 10^3/6 - 3·10^2 + 16·10 - 50/3----->y = 10

f(10)=10

Ultima domanda : Volume solido di rotazione è pari a:

pi*∫((x^2/2 - 6·x + 16)^2*dx valutato tra 4 e 8 si ottiene:

V=128/15·pi

Luciano

 

 

 

 

 






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