[Risolto] Problema Matematica

f(x) = 1+√(x²-x⁴)

1. Dominio. 

√(x²-x⁴) ⇒ x²-x⁴≥0 ⇒ x²(1-x²)≥0 ⇒ -1≤x≤+1

Dominio = [-1,+1]

2. Coordinate del punto angoloso P.

Riscriviamo la funzione nella forma

f(x) = 1+√(x²-x⁴) = 1+√x² * √(1-x²) = 1+|x|*√(1-x²)

è il valore assoluto che genera il punto angoloso, quindi

xP = 0

yP = f(0) = 1

Le coordinate di P sono P(0,1)

3. Derivata prima

f'(x) = (x-2x²)/√(x²-x⁴)

Osserviamo che la derivata prima NON è definita nel punto x=0.

Essendo la funzione derivata prima una funzione continua laddove definita, possiamo determinare il coefficiente angolare delle due tangenti calcolando i limiti laterali.

• se x < 0 

lim(x→0⁻) f'(x) = lim(x→0⁻) x(1-2x)/[|x|*√(1-x²)] = 

= lim(x→0⁻) - x(1-2x)/[x*√(1-x²)] = -1 

Se la tangente sinistra ha coefficiente angolare eguale -1 allora l'angolo corrispondente vale

θ = 3π/4

• se x > 0 (analogamente)

lim(x→0⁺) f'(x) = + 1 

Se la tangente destra ha coefficiente angolare eguale +1 allora l'angolo corrispondente vale

Φ = π/4

4. L'angolo ψ formato dalle due tangenti sarà

ψ = θ - Φ = 3π/4 - π/4 = π/2

Le due tangenti risultano essere ortogonali tra loro.

@annux

Ciao. La funzione data: y = 1 + √(x^2 - x^4)

equivale a scrivere:  y = √(1 - x^2)·ABS(x) + 1

quindi, in definitiva, liberando il segno di valore assoluto

y = x·√(1 - x^2) + 1 per x>=0

y = - x·√(1 - x^2) + 1 per x<0

quindi una funzione definita a tratti.

Siccome:

{1-x^2>=0

{x>=0     ha soluzione: [0 ≤ x ≤ 1]

mentre:

{1-x^2>=0

{x<0    ha soluzione: [-1 ≤ x < 0]

bisogna analizzare cosa succede per x=0. 

Per x=0  : y=1

per lo stesso valore la derivata no!

A destra di 0 abbiamo: y'=√(1 - x^2) - x^2/√(1 - x^2) e per x=0

√(1 - 0^2) - 0^2/√(1 - 0^2)= 1

A sinistra di 0 abbiamo: (2·x^2 - 1)/√(1 - x^2) e per x--->0-

y'=-1

Ne consegue che l'angolo formato dalle due tangenti è di 90°

IL NOME FUNZIONALE STANDARD DELLA RADICE QUADRATA E' "sqrt()", NON "radq()".
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Il grafico di
* f(x) = y = 1 + √(x^2 - x^4) = 1 + sqrt(x^2 - x^4)
ha un solo punto angoloso in A(0, 1) in quanto la sua pendenza
* f'(x) = dy/dx = m(x) = (x - 2*x^3)/√(x^2 - x^4)
è indefinita nell'origine dove presenta
* lim(x → 0-) m(x) = - 1
* lim(x → 0+) m(x) = + 1
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Le rette tangenti, con pendenze antinverse, risultano ortogonali.
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Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2C%28y-1%29%5E2%3Dx%5E2%2Cy%3D1--%E2%88%9A%28x%5E2-x%5E4%29%5D