[Risolto] elettrotecnica aiuto

@mariobassi 

buon pomeriggio 

i due problemi sono uguali tranne quando dice

Il circuito è in regime stazionario per t< 0, prima dell'apertura/ chiusura dell'interruttore.

cosa cambia ? non riesco a capire ...

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per t<0  prima della chiusura agisce solo J quindi iL(0-) coincide con iR1(0-) mentre per t≥ 0 , nel (regime) transitorio {che qui viene chiamata "dinamica" } entra anche E

per t<0  prima della apertura agisce J ed E quindi iL(0-)dipende anche da R3 mentre per t>=0 , nel (regime) transitorio {che qui viene chiamata "dinamica" } non c'è E ...

se poi vuoi il dettaglio ... vedi appresso.

 

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svolgimento del primo

per t<0

se il circuito fig1 è a regime (permanente) L è un corto data la indipendenza da t di j(t) = J = 1 A ed R1 si può considerare in parallelo a R2 :

Rp = R1/2= R2/2 = 5 ohm

iL(0-) = i1 = Rp*J / R1 = J/2 = 0.5 A = iL(0+) = iL(0)       per l'inerzia di L

per t ≥  0 , (regime) transitorio, conviene trasformare {con thev-norton} e(t)-R3 in gen.corr. J' = E/R3 = 1 A con in parallelo R3 tra B e C v. fig2 , poi con Kirchhoff:

nel nodo B
J+ i1 +J'= i2 +i3 --> i1 + 2 = i2 +i3 ---> x+2= y+z ---> x-z = y - 2 ---> v = y-2
nel nodo C
iL = i1 - i3 +J' ---> iL = i1 - i3 +1 ---> u = x - z + 1 ---> x-z = u -1 ---> v = u-1 ---> y -2 = u -1 ---> u = y - 1

sull'unica maglia

vL + vcb + vba = 0 --> L*diL/dt + R1//R3*(i1-i3) + R2*i2 = 0 --> 0.100*du/dt + 20*v/3 + 10*y = 0 --> 0.100*du/dt + 20*u/3 - 20/3 + 10*v + 20 = 0 --> 0.100*du/dt + 20*u/3 + 10*u + 10/3 = 0

equaz. diff. il cui "integrale generale" è:

iL(t) = u(t) = c_1 e^(-166.667 t) - 0.2

e per la cond.iniz.

iL(0) = 0.5 A --> 0.5 = c_1*1 -0.2 --> c_1 = 0.7

quindi l'integrale particolare cercato vale:

iL(t) = 0.7e^(- t /0.006) - 0.2 =~ 0.7e^(-166.667 t) - 0.2 A

... per controllo:

iL(oo) = - 0.2 A a t=oo R1R2e R3 sono in parallelo al gen.corr. Jtot = J + J' = 2 A i2(oo)/Jtot = (1/R1 +1/r2 +1/R3)^-1/R2 ---> i2(oo) = 2*4/10= 0.8 A ---> iL(oo) =i2(oo) - J = 0.8 - 1 = -0.2 A ----> ok

la tau, costante di tempo, del circuito  è , vedi fig3 equiv. con E' e E'':

tau = L /(R2 + R1//R3) = 0.100/(10 + 20/3) = 0.006 s   --> 1/tau = ~ 166.667 1/s

 

 

o  risolvendo direttamente , si veda link UNIBO, dall'equivalente fig3 con E' e E''

iL(0) =A*exp(-0/tau) + (E''- E')/(R2+R2*R3/(R1+R3)) ---> 0.5 = A*1+ (- 10)/(50) ----> A = 0.5 + 0.2 = 0.7

iL(t) = A(1 - exp(-t/tau)) + (E''- E')/(R2+R2*R3/(R1+R3)) = 0.7*exp(-t/tau)) - 0.2 = ~ 0.7e^(-166.667 t) - 0.2 A ---> ok

i2(t) = J + iL(t) = (0.7* exp(-t/tau) + 0.8) = 0.7*e^(-t/tau)) + 0.8 A

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svolgimento del secondo

per t<0 è in regime permanente, fig4, con l'interruttore chiuso , L è un corto:

iL(0) = (E''- E')/(R2+R2*R3/(R1+R3)) = - 0.2 A

per t ≥ 0  (regime) transitorio e(t) ed R3 non ci sono.

dal link unibo ...

iL(t) = A*exp(-t/tau) + E'/(R2+R1)

dove tau = L/(R1+R2) = 0.100/20 = 0.005 s = 5 ms

e per la cond.iniz.

iL(0) = A*1 + 10/20 ---> -0.2 = A + 0.5 ---> A = - 0.7

iL(t) = A*exp(-t/tau) + ( E')/(R2+R1) ---> iL(t) = - 0.7*exp(-t/tau) + 0.5

i2(t) = J + iL(t) = (- 0.7* exp(-t/tau) + 1.5) = 0.7(1 -e^(-t/tau)) + 0.8 A

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p.s.

... la connessione in B di fig1 e fig4 , da me posta, è "obbligatoria"  {essendo l'incontro  di almeno 4 conduttori per eliminare l'ambiguità sulla sua esistenza, si vedano norme CEI sui segni grafici} se c'è... altrimenti gli svolgimenti proposti sono errati!