[Risolto] Elaborato

Te lo comincio, poi mi piacerebbe verdertelo portare avanti.

La parabola, avendo asse di simmetria la retta di equazione $x=0$ e vertice nell'origine ha equazione:

$y=ax^2$

imponi il passaggio per $A(-2,4)$ e ottieni:

$4=4a$ --> $a=1$ quindi la parabola ha eq. 

$y=x^2$

La retta passa per $A$ e per $C$. Puoi usare vari metodi, te ne propongo uno ma puoi scegliere: 

equazione della generica retta: $y=mx+q$

passaggio per A:

$4=-2m+q$

passaggio per B:

$12=2m+q$

metti a sistema queste due equazioni, poi lo puoi risolvere per esempio sommando le due equazioni:

$16=2q$ --> $q=8$

e quindi poi trovi $m=2$.

Qui mi fermo; ti ho trovato la parabola e la retta, adesso sta a te trovare la circonferenza e il resto 🙂

SEMBRA COMPLICATO, MA E' TUTTA APPARENZA ("Facìt 'a fàccia feroce!").
Basta fare le cose con molta calma e in un ordine ragionevole.
E' il tuo Titolo che mi risulta incomprensibile, alla faccia delle regole.
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La retta AB passa per il punto C(2, 12) e, ovviamente, per A(- 2, 4); quindi
* AB ≡ y = 2*x + 8
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La parabola ha il vertice nell'origine e asse di simmetria x = 0 (l'asse y); quindi
* Γp ≡ y = a*x^2
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La parabola passa per il punto A(- 2, 4); quindi
* 4 = a*(- 2)^2 ≡ a = 1
da cui
* Γp ≡ y = x^2
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La parabola interseca la retta AB anche in B; quindi
* (y = 2*x + 8) & (y = x^2) ≡ A(- 2, 4) oppure B(4, 16)
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La circonferenza passa, oltre che per A e B, anche per D(4, 0); quindi è il circumcerchio del triangolo ABD centrato nell'unico punto (5, 8) equidistante dai vertici e di raggio tale comune distanza (√65)
* Γc ≡ (x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 65 ≡ x^2 + y^2 - 10*x - 16*y + 24 = 0
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Il sistema
* Γp & Γc ≡ (y = x^2) & (x^2 + y^2 - 10*x - 16*y + 24 = 0)
ha risolvente
* x^2 + (x^2)^2 - 10*x - 16*x^2 + 24 = 0 ≡
≡ (x + 3)*(x + 2)*(x - 1)*(x - 4) = 0
e soluzione
* F(- 3, 9) oppure A(- 2, 4) oppure E(1, 1) oppure B(4, 16)
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Le rette di cui verificare la perpendicolarità sono
* AE ≡ y = 2 - x
* BF ≡ y = x + 12
e, in effetti, risultano di pendenze antinverse (- 1*1 = - 1).
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%282*x%2B8-y%29*%282-x-y%29*%28x%2B12-y%29%3D0%2Cy%3Dx%5E2%2C%28x-5%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D65%5D