Considera la famiglia di funzioni $f_{k}:\left[0 ;+\infty\left[\rightarrow \mathbb{R}\right.\right.$, definita ponendo $f_{k}(x)=1-e^{-\frac{x}{k}}, \operatorname{con} k$ parametro reale positivo. Verifica che si tratta di funzioni crescenti, indipendentemente dal valore di $k$, e dotate di un asintoto orizzontale. Traccia un grafico qualitativo di una funzione della famiglia, deducendolo da quello di funzioni elementari.
Un condensatore piano ideale, con armature circolari di raggio $R$, viene collegato a un generatore di corrente continua. 2. Dimostra che il campo magnetico indotto a distanza $r<R$ dall'asse del condensatore può essere espresso dalla formula $$ B=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{r}{2} \cdot \frac{d E}{d t} $$ dove il termine $\frac{d E}{d t}$ rappresenta la variazione istantanea del campo elettrico tra le armature. nimnatmo ann d. $$ =\cdots \cdot \cdot=\bar{r} $$ 4. Le armature del condensatore hanno raggio $R=10 \mathrm{~cm} .$ Sapendo che il condensatore può dirsi completamente carico dopo $\Delta t=5 \tau=1,5 \mathrm{~s}$ e che $Q_{0}=5,6 \cdot 10^{-7} \mathrm{C}$, calcola il campo magnetico indotto a distanza $r=\frac{R}{5}$ dall'asse del condensatore dopo $\Delta t^{\prime}=1,0 \mathrm{~s}$.
Un condensatore piano ideale, con armature circolari di raggio 𝑅, viene collegato a un generatore di corrente continua. 2. Dimostra che il campo magnetico indotto a distanza 𝑟 < 𝑅 dall’asse del condensatore può essere espresso dalla formula 𝐵 = μ ε 𝑟 ⋅ 𝑑𝐸, 0 02 𝑑𝑡 ---> B= μ_0 ε_0 r/2*dE/dt
dove il termine dE/dt rappresenta la variazione istantanea del campo elettrico tra le armature.
3. Dimostra che, durante la fase di carica, la corrente di spostamento tra le armature è espressa da 𝑖 =𝑄0⋅𝑒−𝑡, 𝑠ττ ---> i(t) = (Qo/tau)e^-(t/tau) dove 𝑄0 rappresenta la carica depositata sull’armatura positiva del condensatore al """termine del processo""".
4. Le armature del condensatore hanno raggio 𝑅 = 10 cm. Sapendo che il condensatore può dirsi completamente carico dopo Δ𝑡 = 5τ = 1,5 s e che 𝑄0 = 5,6 ⋅ 10−7 C, calcola il campo magnetico indotto a distanza 𝑟 = 𝑅 dall’asse del condensatore dopo Δ𝑡′ = 1,0 s.
svolgimento 2) intanto la legge di ampere-maxwell dice:
circuitazione di B_ sul contorno di S = mu0*eps0*flusso di d(E_)/dt attraverso S
ORA nell' ipotesi di uniformità: circuitazione di B_ sul contorno di S = B*2*pi*r
flusso di d(E_)/dt attraverso S = pi*r²*dE/dt quindi:
B*2*pi*r = mu0*eps0*pi*r²*dE/dt --> B*2 = mu0*eps0*r*dE/dt cioè la formula da dimostrare al punto2
B= μ_0 ε_0 r/2*dE/dt ---> OK! 3)
dallo studio riportato in figura per il transitorio RC
si sostituisce , PER EVITARE CONFUSIONE col campo elettrico la E DELLA FIGURA , con fem...
q(t) = fem*C + k *e^-(t/tau) ---> integrale generale della q(t)
supposto scarico C all'inizio della carica ---> q(0) = 0 , si ha:
q(0) = fem*C + k *e^-(0/tau) ---> 0 = fem*C + k ---> k = -fem*C = Qo
{Q0 --->valore di regime della carica secondo la traccia}
per cui l'integrale particolare cercato è:
q(t) = fem*C - fem*C*e^-(t/tau) ---> integrale particolare della q(t)
{ricordo che, tra le piastre di C, è |E_|= |D_|/eps0 = sigma/eps0 = qs/(eps0*pi*r²) in caso di uniformità come qui(!), ... HO INDICATO CON qs la carica attraverso S = pi*r²}
... sostituendo nella legge riportata al punto 2 di Ampere-Maxwell si ha:
... ricordando , per l'uniformità di E = sigma/eps0, che il rapporto tra la totale q attraverso S(R) = pi*R² sta alla qs attraverso S(r) con r < R è per i dati della traccia:
