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[Risolto] Aiuto per elaborato di fisica

  

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Rifletti sulla teoria
- Enuncia il teorema della circuitazione di Ampère e spiega perché il campo magnetico $\vec{B}$ non è conservativo.
- Determina l'espressione per il campo magnetico all'interno di un solenoide rettilineo percorso da una corrente $i$.
- Durante il processo di carica un condensatore immagazzina energia. Da dove proviene questa energia? Quanto vale la densità di energia per unità di volume?

Mettiti alla prova

Un condensatore piano ha le armature di forma circolare e di raggio $R .$ Supponi di poter trascurare gli effetti al bordo.

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Mi servirebbe un aiuto per la teoria di fisica e un esercizio che non capisco come fare.

1. Determina l'espressione del campo magnetico indotto $B(t)$ a distanza $r<R$ dall'asse del condensatore se l'intensità del campo elettrico tra le armature varia secondo la legge $E(t)=E_{0} f(t), \operatorname{con} f(t)=\frac{8}{t^{2}+4} .$
2. Cosa cambia nell'espressione trovata se $r>R ?$

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teoria...

1)

legge di Ampere-Maxwell
circuitazione di B al contorno di S    =    (muo * flusso di j_ +   mu0*eps0*flusso di dE/dt) attraverso S

 

perchè un campo vettoriale (sinteticamente "un vettore") sia CONSERVATIVO in un dominio monoconnesso OCCORRE E BASTA che sia nulla la circuitazione su qualsiasi curva di tale dominio!

 

SICCOME per la legge suesposta tale circuitazione non è nulla laddove esistano correnti fisiche {flusso di j_} o di spostamento {dD_/dt ---> eps0 * dE_/dt}  B non è ivi conservativo!

2) ... per un solenoide indefinito o APPROSSIMATIVAMENTE per un solenoide "lungo" ... {in cui B_ si possa ritenere uniforme e confinato all'interno del solenoide}

B = muo*N*i/l

dove N/l = n ---> num. di spire per unità di lunghezza 

3)  ... dal campo elettrico formatosi durante la carica tra le piastre. ---> da WIKIPEDIA

{Energia immagazzinata[modifica | modifica wikitesto]

L'energia immagazzinata in un condensatore è pari al lavoro fatto per caricarlo. Si consideri, ora, un condensatore con capacità , con carica  su una piastra e  sull'altra. Per muovere un piccolo elemento di carica  da una piastra all'altra sotto l'azione della differenza di potenziale , il lavoro necessario è :

Integrando questa equazione, infine, si può determinare l'energia potenziale  immagazzinata dal condensatore. Gli estremi dell'integrazione saranno , ovvero un condensatore scarico, e , ovvero la carica immessa sui piatti del condensatore:

  }

l'energia immagazzinata è C*V²/2   o anche Q²/(2C)   ...

ricordo per un C piano   ---> C = eps*S/d---> Q = C*V = eps*S/d*V ---> Q = eps*S*E = S*D

 

quindi Q²/(2C) = S²*D²/(2* eps*S/d)   = S*d*(eps*E)²/(2*eps) = Volume*eps*E²/2 = Volume*E*D/2

... quindi , per unità di volume --->  energia immagazz. = eps*E²/2 = E*D/2

.......................

 

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/aiuto-19/#post-22094

 

legge di Ampere-Maxwell
circuitazione di B al contorno di S    =       mu0*eps0*flusso di dE/dt attraverso S

per la simmetria e l'uniformità si avrà:

B(r)*C(r) = mu0*eps0*S(r)*dE/dt   --->   B(r)*2*pi*r = mu0*eps0*pi*r²dE/dt    --->    B(r)*2 = mu0*eps0*r*d(Eo*f)/dt    --->    B(r)= mu0*eps0*Eo*r/2*df/dt     --->    B(r) = mu0*eps0*Eo*r/2*(-(16 t)/(t^2 + 4)^2 ) --->

 

B(r) = - mu0*eps0*Eo*r*(8 t)/(t^2 + 4)^2

 

Cosa cambia nell'espressione trovata se r>R?

il campo E NON ESISTE PIù e IL FLUSSO di dE/dt  non cambia più con r ma si ferma a R...(***)

B(r)*C(r) = mu0*eps0*S(R)*dE/dt   --->   B(r)*2*pi*r = mu0*eps0*pi*R²dE/dt    --->     B(r)*2*r = mu0*eps0*R²dE/dt    ---> B(r) = mu0(eps0/ (2*r)) *R²dE/dt    ---> B(r) = mu0(eps0/ (2*r)) *R²*Eo*df/dt   --->  B(r) = mu0(eps0/ (2*r)) *R²*Eo* (-(16 t)/(t^2 + 4)^2 ) 

----------------

(***)  si osserva che  (eps0/ (2*r)) *R²dE/dt   =  (1/ (2*r)) *R²dD/dt = (1/ (2*r)) *R²dsigma/dt  = (1/ (2*r)) *R² (1/(pi*R²))dq/dt  = (1/ (2*r)) *R² (1/(pi*R²)) i(t)  = (1/ (2*r))  (1/(pi)) i(t)  

 

dove              i(t) = dq/dt            è         "anche " la corrente istantanea  che affluisce al condensatore.

Grazie mille!



Risposta




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