Ciao a tutti, devo stabilire se $W=\:\left\{M\in R^{2,2}\det\left(M\right)=0\right\}$ è chiuso rispetto la somma o meno.
Ho dei dubbi in merito.
Se abbiamo $A=\:\begin{pmatrix}1&0\\ \\begin{pmatrix}0&0\\ \:0&1\end{pmatrix}$ ed eseguiamo la somma, avremo $A+B=\:\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$.
Questa matrice ha determinante $1$, dunque non si verifica la condizione di chiusura e di conseguenza non è un sottospazio vettoriale.
Ma se io considero un caso differente, ad esempio $A=\:\begin{pmatrix}1&0\\ \B=\begin{pmatrix}0&1\\ \:0&0\end{pmatrix}$ avrò che la loro somma sarà $A+B=\:\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ con determinante $0$. In questo caso io potrei dire che si verifica la condizione di chiusura e che $W$ sia un sottospazio.
Dove sta l'errore? Ho qualche difficoltà con gli esercizi che richiedono di stabilire se sono in presenza di sottospazi o meno 😒 😓
Grazie in anticipo
