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[Risolto] Dubbio sottospazi vettoriali

  

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Ciao a tutti, devo stabilire se $W=\:\left\{M\in R^{2,2}\::\:det\left(M\right)=0\right\}$ è chiuso rispetto la somma o meno.

Ho dei dubbi in merito.

Se abbiamo $A=\:\begin{pmatrix}1&0\\ \:0&0\end{pmatrix},\:B=\:\begin{pmatrix}0&0\\ \:0&1\end{pmatrix}$ ed eseguiamo la somma, avremo $A+B=\:\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$.

Questa matrice ha determinante $1$, dunque non si verifica la condizione di chiusura e di conseguenza non è un sottospazio vettoriale. 

Ma se io considero un caso differente, ad esempio $A=\:\begin{pmatrix}1&0\\ \:0&0\end{pmatrix},\:B=\begin{pmatrix}0&1\\ \:0&0\end{pmatrix}$ avrò che la loro somma sarà $A+B=\:\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ con determinante $0$. In questo caso io potrei dire che si verifica la condizione di chiusura e che $W$ sia un sottospazio.

Dove sta l'errore? Ho qualche difficoltà con gli esercizi che richiedono di stabilire se sono in presenza di sottospazi o meno 😒 😓 

Grazie in anticipo

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Affinchè una definizione sia vera lo deve essere per ogni elemento dell'insieme. Come trovi un controesempio (e tu lo hai trovato con le prime due matrici) per il quale non vale una proprietà necessaria, allora l'affermazione è falsa.

In generale è molto più facile provare la falsità di un'affermazione rispetto alla veridicità, in quanto per provare che una cosa sia falsa è sufficiente trovare un controesempio.

Per provare la veridicità devi operare un procedimento logico che escluda qualunque altra possibilità.

@sebastiano Grazie mille, devo lavorare un po' di più sulla logica!

@ILoveYou prego 😊






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