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[Risolto] Dubbio risultato disequazione  

  

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Heyo, ho un dubbio su questa disequazione: $\frac{7-x^2}{\sqrt{x+\sqrt{5}}}≥ :0$

Si avrà per il numeratore: $-\sqrt{7}≤ x ≤\sqrt{7}$

Per il denominatore: $x>- 5$

Ecco il grafico dei segni che ho fatto:

Cattura

La soluzione della disequazione è $- \sqrt{5}≤x≤\sqrt{7}$

Perché $x ≤ - \sqrt{7}$ non viene considerato? Dove sbaglio?

Grazie 🖐️ 

Avevo quasi dimenticato che editando, LaTex impazzisce... 😒 

@sosmatematica

** Per il denominatore si avrà: $x>-\sqrt{5}$

Non posso editare se no saltano tutti i codici 😣 

*** Il risultato della disequazione è $-\sqrt{5}\le x\le \sqrt{7}$, qualcosa è andato ulteriormente storto nel codice lassù. 

@iloveyou sistemato 😁

@Antonio Grazie! Dato che ci son problemi con LaTex, un aumento del tempo di modifica non sarebbe male. Quando ho pubblicato il post, ho dovuto riscrivere i codici entro i 5 minuti, ho sudato freddo 😆 

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SOLUZIONE

 

$\frac{7-x^{2}}{\sqrt{x+\sqrt{5}}}\geq0$
 

Scriviamo le condizioni di esistenza

  • Trova tutti i valori di $x$ che rendono negativa l'espressione sotto la radice quadrata $\sqrt{x+\sqrt{5}}$

$x+\sqrt{5}<0~\Rightarrow~x<-\sqrt{5}$

  • Trova tutti i valori di $x$ che rendono il denominatore di $\frac{7-x^{2}}{\sqrt{x+\sqrt{5}}}$ uguale a $0$

$\sqrt{x+\sqrt{5}}=0~\Rightarrow~x=-\sqrt{5}$

  • Troviamo l’unione

$x\in(-\infty,~-\sqrt{5}]$

  • Per trovare le condizioni di esistenza, escludiamo i valori appena trovati

$x\in(-\sqrt{5},~+\infty)$ cioè $x\geq-\sqrt{5}$

 
Poiché il denominatore è sempre positivo (dopo aver posto le $C.E.$), determiniamo ora quando il numeratore è $geq0$

$7-x^{2}\geq0$

$-x^{2}\geq-7$

$x^{2}\leq7$

$|x|\leq\sqrt{7}$

$-\sqrt{7}\leq{x}\leq\sqrt{7}$

 
Troviamo infine l'intersezione fra soluzione e condizioni di esistenza

$\begin{cases}-\sqrt{7}\leq{x}\leq\sqrt{7}\\x\geq-\sqrt{5}\end{cases}~\Rightarrow~-\sqrt{5}<x\leq\sqrt{7}$

 

@ILoveYou, dammi qualche minuto per sistemare la risposta 😅😢.

 

@SosMatematica, c’è un problema con il codice LateX.

@us sto cercando di decifrare nel mentre 😆 

@us in realtà non mi è molto chiaro come hai posto le CE.

Io ho semplicemente calcolato $\sqrt{x+\sqrt{5}}\ne 0$ trovando $x\:\ne -\sqrt{5}$.

Forse non mi è chiaro perché non ho ancora studiato le disequazioni irrazionali? Questa disequazione era parte di un'equazione irrazionale 😱 

@us L'equazione era $\sqrt{x-\sqrt{5}}=\frac{7-x^2}{\sqrt{x+\sqrt{5}}}$.

Mi son ritrovato a calcolare la CSS ed ho posto il secondo membro maggiore o uguale a zero.

Forse avrei potuto calcolare solo il numeratore $\ge 0$ essendo il denominatore sempre positivo tranne per $x\:\ne -\sqrt{5}$? (sempre se le CE si calcolino così 😆)

@ILoveTou, Praticamente il procedimento per risolvere la domanda iniziale è questo:

 

• trovi per quali valori non esiste il radicale che sta a denominatore

• trovi per quali valori il denominatore non è accettabile perché minore di 0

• unisci il tutto e trovi un unico intervallo

• poi trovi le condizioni di esistenza che consistono in tutti i valori di $x$ tranne l’intervallo appena trovato

• infine, una volta imposte le condizioni per il denominatore, puoi concentrarti sul solo numeratore

@us Tra l'altro mi son accorto soltanto adesso che potevo moltiplicare direttamente per il numeratore ottenendo: $\left(\sqrt{x+\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{x-\sqrt{5}}\right)\:=\:7-x^2$

e di conseguenza:
$\sqrt{\left(x+\sqrt{5}\right)\left(x-\sqrt{5}\right)}\:=\:7-x^2$

Era molto più semplice risolverla così.

Sono un pollo 🤣 

@ILoveYou, Sì, direi che così è più semplice! 😄

@us Grazie mille. Come al solito, non so perché, mi complico la vita anche negli esercizi più semplici... 😆 

@ILoveYou, lo so... capitano spesso cose del genere. Bisogna saper osservare bene l’esercizio.

 
Di nulla! 😃

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Ciao! 

Dimentichi la condizione di esistenza sul radicale a denominatore. 

Deve essere $ x>-\sqrt{5} $ (non prendi l' = in quanto il termine si trova a denominatore).

Ti trovi?

@gabriele22 beh sì, non l'ho scritto. L'ho tenuta però a mente scrivendo $x>-\sqrt{5}$ come risultato del denominatore 🤔

@gabriele22 Cioè, aspetta. La CE è $x\:\ne \sqrt{5}$, il risultato del denominatore invece è $x>-\sqrt{5}$. Sì?

@gabriele22 Ho risolto. Grazie!

@ILoveYou Perfetto ahah. Scusami se non mi sono riconnesso prima😅

@gabriele22 Figurati, grazie a te per aver risposto! 😇 

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