[Risolto] Doppia radice con incognita x

L'ITALIANO E' ANCORA UNA LINGUA PER BENE, CON OGNI PAROLA CHE VALE CIO' CHE DICE IL DIZIONARIO?
Il testo originale è
«Trova il valore del numero naturale x tale da eliminare la doppia radice nell'espressione:
(3 - 2*√3)*√(21 + 6*√x)
Una volta trovato il valore di x, calcola il valore dell'espressione.»
e ciò vuol dire che si deve determinare un "numero naturale x" per cui l'espressione data ne valga una in cui "la doppia radice" (cioè "√(21 + 6*√x)") sia ELIMINATA (cioè non si veda più, diventi una subespressione "S" priva di radici).
Per soddisfare a tale consegna occorre E BASTA che:
* x sia un numero naturale quadrato perfetto, x = n^2;
* anche "21 + 6*n = 3*(7 + 2*n)" sia un numero naturale quadrato perfetto, 3*(7 + 2*n) = S^2;
dove (n, y) sono numeri interi relativi qualsiasi.
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La soluzione si ottiene, per ogni k intero relativo non in {0, 1}, nei seguenti termini.
* S = - 3*(2*k - 1)
* S^2 = 9*(2*k - 1)^2
* n = 2*(3*(k - 1)*k - 1)
* x(k) = n^2 = 4*(3*((3*(k - 2)*k + 1)*k + 2)*k + 1)
La funzione x(k) ha
* un massimo relativo x(1/2) = (7/2)^2
* due minimi relativi e assoluti x(1/2 ± ~0.76) = 0
pertanto (a titolo d'esempio e per rispondere al secondo quesito) mostro di seguito, per i vicini dello zero di k, alcune triple dei valori {k, x(k), (3 - 2*√3)*√(21 + 6*√(x(k)))}.

{-5, 31684, 33*(3 - 2*√3)}
{-4, 13924, 27*(3 - 2*√3)}
{-3, 4900, 21*(3 - 2*√3)}
{-2, 1156, 15*(3 - 2*√3)}
{-1, 100, 9*(3 - 2*√3)}
{ 0, 4, (√33)*(3 - 2*√3)}
{ 1, 4, (√33)*(3 - 2*√3)}
{ 2, 100, 9*(3 - 2*√3)}
{ 3, 1156, 15*(3 - 2*√3)}
{ 4, 4900, 21*(3 - 2*√3)}
{ 5, 13924, 27*(3 - 2*√3)}

Mentre il caso di @LucianoP è
{1/√3, 12, - 3}

Devi trovare il valore di x che permette l’eliminazione del radicale doppio. Quindi porti sotto segno di radice 6 ed hai:

√(21 + √(36·x))

puoi trasformare questa espressione nella somma di due radicali quadratici, attraverso la formula del radicale doppio

√(r + √s) = √((r + q)/2) + √((r - q)/2)

se riesci a trovare un valore di q per cui risulta:     r^2 - s = q^2
cioè q quadrato perfetto.

Nel tuo caso:

21^2-36x=q^2

Risolvo in x:

x = (441 - q^2)/36

x = 49/4 - q^2/36

Provo con q=2:x = 49/4 - 2^2/36------->x = 437/36 non è naturale: NON va bene

Provo con q=3: x = 49/4 - 3^2/36------> x = 12 OK!

Per x=12:

√(21 + √(36·12))= √(21 + √432)

quindi:

21^2 - 432 = 9------->q=3

√((r + q)/2) + √((r - q)/2)=√((21 + 3)/2) + √((21 - 3)/2) = 2·√3 + 3

Per tale valore di x

(3 - 2·√3)·√(21 + 6·√x)= (x=12) =(3 - 2·√3)·(2·√3 + 3) = -3

è il valore finale!

Infatti:

(3 - 2·√3)·√(21 + 6·√12) =-3

 

 

 

 

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