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[Risolto] Calcolo radicale doppio.

  

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Ciao pasticcini, ho il seguente radicale: $\sqrt{\frac{7}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}}$

Devo utilizzare la formula dei radicali doppi per ottenere due radicali semplici.

In questo caso avendo una somma la formula risolutiva è: $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\:\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

La prima cosa che mi è venuta in mente da fare è razionalizzare, dunque ho ottenuto $\sqrt{\frac{7}{6}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ e dopodiché ho portato il dentro il radicale: $\sqrt{\frac{7}{6}+\frac{\sqrt{12}}{3}}$

Ora, qual è il guaio? Per utilizzare la formula dei radicali doppi, bisogna vedere se $\sqrt{a^2-b}$ è prima di tutto un quadrato perfetto ed ovviamente se è $\ge 0$

Provando a calcolare $\sqrt{a^2-b}$ ovvero $\sqrt{\left(\frac{7}{6}\right)^2-\frac{12}{3}}$ viene fuori $\sqrt{-\frac{95}{36}}$ ed è minore di 0 quindi non possibile!

C'è qualcosa di sbagliato nel processo che ho elencato, potreste darmi una mano a capire dove sbaglio? ☹️ 

Il risultato è $\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$

 

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3 Risposte
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La prima cosa a venire in mente dovrebb'essere la riduzione a forma normale
* √(7/6 + 2/√3) = √(7/6 + √(4/3))
che corrisponde a
* √(a + √b)
con
* a = 7/6
* b = 4/3
---------------
Ciò fatto si può applicare il test di semplificabilità
* R = "a^2 - b" è un quadrato?
Cioè
* R = (7/6)^2 - 4/3 = 1/36 = 1/6^2 = r^2? Sì, lo è per r = 1/6.
---------------
Assodata la semplificabilità, si semplifica sommando le radici quadrate di semisomma e semidifferenza fra "a" ed "r"
* L = (a - r)/2 = (7/6 - 1/6)/2 = 1/2
* U = (a + r)/2 = (7/6 + 1/6)/2 = 2/3
* √(7/6 + 2/√3) =
= √(7/6 + √(4/3)) =
= √L + √U =
= √(1/2) + √(2/3)
---------------
CONTROPROVA nel paragrafo "Alternate forms" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A%287%2F6%2B2%2F%E2%88%9A3%29%3D%E2%88%9A%281%2F2%29%2B%E2%88%9A%282%2F3%29




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Ciao!

Il problema è quello che individui con $a$ e $b$.

Infatti:

$a = \frac76$ quindi $a^2 = \frac{49}{36}$

ma $b$ è tutto quello che sta sotto la radice, e tu hai $\frac{\sqrt{12}}{3}$ quindi per individuare $b$ devi mettere anche il $3$ sotto radice, ottenendo

$b = \sqrt{\frac{12}{9}}$

In questo modo puoi procedere correttamente e normalmente, calcolando

$a^2-b = \frac{49}{36} -\frac{12}{9} = \frac{1}{36}$

quindi le due radici sono $\sqrt{ \frac{\frac76+\frac16}{2} }$ e $\sqrt{\frac{\frac76-\frac16}{2}}$

qundi $\sqrt{ \frac23 } +\sqrt{\frac12}$ 

@pazzouomo perdonami ma come fa $\frac{\sqrt{12}}{3}$ a diventare $\sqrt{\frac{12}{\:9}}$ ?
E' tipo una variante del normale trasporto dentro la radice? ? si porta il denominatore dentro elevando per l'indice della radice? 

Cioè non so, da solo non ci sarei mai arrivato ? 

E' esattamente il procedimento di trasporto dentro la radice. Lo puoi fare sia col numeratore che col denominatore (o con entrambi).
In realtà potevi farlo già dall'inizio, dato che avevi $\frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$ 

@pazzouomo ho imparato una cosa nuova, grazie mille!

2

Il problema è semplicemente nel calcolo di $b$ che non è $12/3$ ma $12/9$ 

🙂




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