[Risolto] Dominio di una funzione con Logaritmi

Nella prima funzione devo imporre due condizioni:

Deve essere maggiore o uguale a zero la funzione sotto radice quadrata, mentre l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero.

$\bullet$  $3 - log_2(x+5) \geq 0$  $\longrightarrow$  $3 \leq  log_2(x+5)$  $\longrightarrow$  $x + 5 \leq 2^{3}$ da cui ricavo che $x \leq 3$

$\bullet$  $x + 5 > 0$  da cui ricavo $x > -5$

mettendo tutto insieme il dominio risulta  $-5 < x \leq 3$

Nella seconda funzione impongo che l'espressione sotto radice sia maggiore o uguale a zero:

$e^{2x} -3e^{x} + 2 \geq 0$

per risolverla applico la sostituzione $e^{x} = t$  e dunque l'espressione diventa:

$t^{2} - 3t + 2 \geq 0$ 

risolvo la disequazione di $2°$ grado con la variabile $t$ da cui ricavo come soluzioni:

$t\leq 1$ $\lor$ $t\geq 2$

ritorno alla variabile $x$  $\longrightarrow$ $e^{x} \leq 1$ $\lor$ $e^{x} \geq 2$

risolvo le due disequazioni applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri e trovo che il dominio è:

$x\leq0$ $\cup$ $x\geq log(2)$

PREMESSA
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Quei due esercizi devono anzitutto essere tradotti in italiano perché contengono uno dei più equivoci anglicismi del tipo "false friends" (più o meno come chiamare targhetta anziché bersaglio il "target" del ciclotrone; o scalpello anziché bìsturi lo "scalpel" del chirurgo); in un trattato americano si trova "domain" che solo un traduttore incompetente traduce dominio generando confusione.
In un trattato italiano il "dominio" di "y = f(x)" è l'insieme su cui ha valore x senza se e senza ma; invece dal contesto in cui si presentano
91) y = f(x) = √(3 - log(2, x + 5))
92) y = f(x) = √(e^(2*x) - 3*e^x + 2)
è evidente che il quesito "Si determini il dominio ..." è stato scritto da un traduttore incompetente che, non essendo un matematico o non avendo studiato su libri scritti da matematici italiani, non sapeva che "domain" in italiano si chiama "insieme di definizione reale".
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RISOLUZIONE
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A) DOMINIO E CODOMINIO
Entrambi gli esercizi 91 e 92 presentano la radice quadrata di una funzione di un'unica variabile x; quindi il loro dominio è l'insieme numerico in cui varia x (naturali, cardinali, interi, razionali, reali, complessi, ...) mentre il codominio è comunque l'insieme dei complessi, perché:
* se il radicando è zero ovviamente lo è pure la radice;
* se il radicando è complesso ovviamente lo è pure la radice;
* se il radicando è reale positivo ovviamente lo è pure la radice;
* se il radicando è reale negativo allora la radice è immaginaria.
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B) INSIEME DI DEFINIZIONE
La radice quadrata è definita ovunque, quindi le funzioni 91 e 92 sono definite là dove lo sono il loro radicandi
91) y = g(x) = (3 - log(2, x + 5)) = (3 - ln(x + 5)/ln(2))
92) y = h(x) = (e^(2*x) - 3*e^x + 2) = (e^x - 1)*(e^x - 2)
vale a dire che 92 è definita ovunque come l'esponenziale, la differenza e il prodotto; e invece che 91 è definita quasi ovunque tranne che per x = - 5, come il logaritmo che è indefinito per argomento nullo.
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g(x) in dettaglio
x < - 5 → x + 5 < 0 → g(x) complessa → √(g(x)) complessa
x = - 5 → x + 5 = 0 → g(x) indefinita → √(g(x)) indefinita
- 5 < x < 3 → 0 < x + 5 < 8 → g(x) > 0 → √(h(x)) > 0
x = 3 → x + 5 = 8 → g(x) = 0 → √(g(x)) = 0
x > 3 → x + 5 > 8 → g(x) < 0 → √(g(x)) = i*√(|g(x)|)
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h(x) in dettaglio
x < 0 → e^x < 1 → h(x) > 0 → √(h(x)) > 0
x = 0 → e^x = 1 → h(x) = 0 → √(h(x)) = 0
0 < x < ln(2) → 1 < e^x < 2 → h(x) < 0 → √(h(x)) = i*√(|h(x)|)
x = ln(2) → e^x = 2 → h(x) = 0 → √(h(x)) = 0
x > ln(2) → e^x > 2 → h(x) > 0 → √(h(x)) > 0
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C) INSIEME DI DEFINIZIONE REALE (quello MAL chiesto al NES 2014)
91) y = f(x) = √(3 - log(2, x + 5)) definita reale in - 5 < x <= 3
92) y = f(x) = √(e^(2*x) - 3*e^x + 2) definita reale in (x <= 0) o in (x >= ln(2))