[Risolto] Domanda sul valore assoluto

Considera la retta dei numeri reali.

Come rispondere alla domanda, molto comune in analisi, qual è la distanza del punto x dall'origine O?

Se conosco il valore numerico della x la risposta è banale

-) per x=3 la distanza è 3

-) per x=-3 la distanza è 3

e se non conoscessi il valore numerico? Semplice,

La distanza d(x) del generico punto x dall'origine è d(x) = |x|.

N.B. La distanza di un punto P(x,y) del piano dall'origine degli assi è data dal teorema di Pitagora 

d = √(a²+b²)

il quale facilmente si estende agli spazi di dimensione superiore

d = √(a²+b²+c²+....+n²)

ma se lo spazio ha dimensione 1? 

Vale sempre Pitagora infatti

d = √a² = |a|

Come ogni entità matematica anche la funzione "moduloDi(argomento)" (anche scritta "|argomento|") fu introdotta affinché soddisfacesse ad un'esigenza occasionale e poi si diffuse fino ad essere comunemente accettata in virtù del suo rendersi utile in varie circostanze.
Un'entità è utile se facilita almeno uno dei due processi mentali da cui è costituita la matematica: l'astrazione o la particolarizzazione.
"moduloDi(argomento)" fu accettata perché facilita la più bassa forma di astrazione che è l'abbreviazione espressiva, come la formazione di un gergo specialistico.
Rifletti sulla formula
* R - (1/2)Rg = T
che ad Einstein è costata dieci anni di studio e che è l'abbreviazione espressiva dell'intera Relatività Generale.
Per tornare al valore assoluto, oltre agli ottimi esempi di "cmc", te ne propongo altri due.
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1) Se "a" è un valore reale allora la formula
* √(a^2) = |a|
abbrevia l'espressione "la radice quadrata di un quadrato può valere o la base o il suo opposto".
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2) Se "z = x + i*y" e "c = a + i*b" sono valori complessi ed "r" è un valore reale allora la formula
* Γ ≡ |z - c| = r
abbrevia l'equazione della circonferenza di centro C(a, b) e raggio "r"
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
nel piano di Argand-Gauss.