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Domanda sulla curva logistica

  

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Ricordate che l'equazione differenziale di cui é soluzione é

dx/dt = k x (P - x)

e che la forma che ne risulta é

 

x(t) = P/[ 1 + C e^(-kPt) ]

Epidemiologicamente, il parametro "lambda" di contagiosità a quale combinazione delle costanti

k, P, C corrisponde ?

 

All'origine, il problema era il seguente

In una popolazione di 4500 abitanti gli infetti oggi sono aumentati di 1215 unità. Utilizzando il modello logistico calcola il numero di infetti del giorno precedente considerando una contagiosità pari a lambda = 3 ....

Opzioni: 350, 450, 400, 520, 540

 

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1 Risposta
1

Sono vecchio e un po' svanito: per capire di che simboli si tratta ho dovuto fare una piccola ricerca. Prima di rispondere ti riporto cosa ho capito: se è così, la risposta è attendibile; se no, lasciala perdere e aggiungi trenta parole.
==============================
COSA HO CAPITO dalla ricerchina
La classe dei Suscettibili S, consiste di chi può infettarsi, ma ancora non lo è.
La classe degli Infettivi I, consiste di chi è infetto e sta infettando altri S.
La classe dei Rimossi R, consiste di chi non è né S né I (immune, isolato, defunto).
Il totale della popolazione
* N = S + I + R
è costante e di numerosità tale da consentire di trattare l'ampiezza di ogni classe come variabile continua.
il « fattore di contatto giornaliero "λ" » indica il valore medio di contatti per infettivo al giorno, definito da
* dS/dt = - λ*S*I
------------------------------
COSA HO CAPITO dei tuoi simboli
* t = indice del giorno
* C = costante d'integrazione utile al curve fitting
* x(t) = I = numero di infetti/vi
* P = N = 4500 = numerosità della popolazione
* P - x = S = numero di suscettibili
* R = 0 = nessuno muore o guarisce o è in quarantena
* λ = 3
---------------
Se quest'interpretazione è corretta, allora
* dx/dt = k*x*(P - x) ≡
≡ dI/dt = k*I*S ≡
≡ d(N - S)/dt = k*I*S ≡
≡ - dS/dt = k*I*S ≡
≡ dS/dt = - k*I*S
e da ciò direi proprio che
* k = λ = 3
==============================
"In una popolazione di 4500 abitanti gli infetti oggi sono aumentati di 1215 unità."
* x(t) = P/(1 + C*e^(- k*P*t)) ≡
≡ x(t) = 4500/(1 + C*e^(- 13500*t))
* x(t + 1) = 4500/(1 + C*e^(- 13500*(t + 1))) = 4500/(1 + C*e^(- 13500*t)/e^13500)
---------------
L'equazione in x
* x(t + 1) = x(t) + 1215 ≡
≡ 4500/(1 + C*e^(- 13500*t)/e^13500) = 4500/(1 + C*e^(- 13500*t)) + 1215
non ha l'aria d'essere attaccabile simbolicamente e infatti non sono riuscito ad attaccarla; sono anche fallito con un trattamento tabulare e così m'arrendo, beninteso chiedendoti daccapo di aggiungere trenta parole.

Anch'io avevo seguito questo approccio, ma Wolfram mi ha dato risposte strane e certamente non comprese in quella rosa di valori.

Non posso aggiungere nulla perché così era la traccia.

Inoltre : C e t non sono entrambi incogniti ?

@EidosM
ti arriva la notifica di questo commento solo perché io te lo indirizzo scrivendo nella prima riga "@EidosM" seguito da spazio o accapo; così io avrei visto il tuo ieri sera anziché oggi (per caso!) se tu me l'avessi indirizzato scrivendo nella prima riga "@exProf" seguito da spazio o accapo.
Ti rispondo all'indietro.
---------------
"C e t non sono entrambi incogniti?" direi di no. Se
* x(t) = P/(1 + C*e^(- k*P*t))
è il numero d'infetti al giorno di indice t, allora l'esistenza del paziente zero
* x(0) = 1
determina
* C = P - 1
Invece l'indice t è la variabile discreta che DOVREBBE risolvere il sistema
* (P/(1 + C*e^(- k*P*t)) = boh) & (P/(1 + C*e^(- k*P*(t + 1))) = boh + 1215)
dove "boh" dovrebb'essere una delle opzioni proposte.
Il guaio è che l'addendo decrescente
* C*e^(- k*P*t) = 4499*e^(- 13500*t)
anche solo per t = 1 è già dell'ordine di 10^(- 5860) per cui si deve dire che
* x(t) = 4500
per ogni t > 0, mentre la logica dovrebbe dare x(1) = 4, e così via.
Quindi t DOVREBBE essere un'incognita, ma non può esserlo.
---------------
"così era la traccia"
Usare il modello logistico vuol dire
* (dS/dt = - λ*S*I) & (S(0) = 4499) ≡
≡ (dS/dt = - 3*S*(4500 - S)) & (S(0) = 4499) ≡
≡ S(t) = 20245500/(e^(13500*t) + 4499)
ma, anche così, l'esponenziale gigantesca ammazza tutto
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bt%2CN%5B20245500%2F%28e%5E%2813500*t%29%2B4499%29%2C6%5D%7D%2C%7Bt%2C0%2C5%7D%5D
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"risposte strane e certamente non comprese in quella rosa di valori"
non certo più strane delle cose che ho trovato io.
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Un'altro poco soddisfacente tentativo di ieri pomeriggio è stato di attaccare la più semplice e generica logistica
* y = n(t) = K/(1 + q*e^(- t/τ))
cercando di determinarla con le condizioni
* lim_(t → ∞) n(t) = K = 4500
* n(0) = 1
* n(1) = 4
cioè
* y = n(t) = 4500/(1 + q*e^(- t/τ))
* n(0) = 4500/(1 + q*e^(- 0/τ)) = 1
* n(1) = 4500/(1 + q*e^(- 1/τ)) = 4
da cui
* (q = 4499) & (τ = 1/ln(4499/1124))
* y = n(t) = 4500/(1 + 4499*(4499/1124)^(- t))
EHI LA MAREMMA!
Perché ieri ho lasciato perdere? Questa sembra promettente!
Fra le differenze
* Δn(t) = n(t + 1) - n(t)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bt%2CN%5B4500%2F%281%2B4499*%284499%2F1124%29%5E%28-%28t%2B1%29%29%29-4500%2F%281%2B4499*%284499%2F1124%29%5E%28-t%29%29%2C6%5D%7D%2C%7Bt%2C0%2C11%7D%5D
c'è Δn(5) che è simpatica.
---------------
Adesso capisco perché ieri avevo lasciato perdere.
L'ho detto all'inizio che sono un po' svanito.






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