[Risolto] Distanza punto a un sottospazio

Sia $\mathbf{p} \in \mathbb{R}^n$ un punto qualsiasi, $S$ un sottospazio affine di $\mathbb{R}^n$ e $H$ la proiezione ortogonale di $\mathbf{p}$ su $S$. Vogliamo dimostrare che $H$ è il punto di $S$ che minimizza la distanza euclidea $|\mathbf{p} - \mathbf{s}|$ tra $\mathbf{p}$ e i punti $\mathbf{s} \in S$.

Per fare ciò, osserviamo che per ogni punto $\mathbf{s} \in S$, la differenza $\mathbf{p} - \mathbf{s}$ può essere scritta come la somma di un vettore $\mathbf{h} \in S$ e di un vettore $\mathbf{v}$ ortogonale a $S$:

$$
\mathbf{p} - \mathbf{s} = \mathbf{h} + \mathbf{v}
$$

dove $\mathbf{h}$ è la proiezione ortogonale di $\mathbf{p}$ su $S$ e $\mathbf{v}$ è il vettore che congiunge $\mathbf{p}$ a $\mathbf{h}$.

Notiamo che la norma del vettore $\mathbf{v}$ è esattamente la distanza euclidea tra $\mathbf{p}$ e $S$:

$$
|\mathbf{v}| = |\mathbf{p} - \mathbf{h}| = \min_{\mathbf{s} \in S} |\mathbf{p} - \mathbf{s}|
$$

Quindi, per dimostrare che $H$ è il punto di $S$ che minimizza la distanza euclidea tra $\mathbf{p}$ e $S$, dobbiamo dimostrare che il vettore $\mathbf{v}$ è ortogonale a $S$, ovvero che $\mathbf{v}$ è perpendicolare a ogni vettore $\mathbf{s} - \mathbf{h}$ con $\mathbf{s} \in S$.

Per fare ciò, notiamo che $\mathbf{h}$ è il punto di $S$ più vicino a $\mathbf{p}$, quindi il vettore $\mathbf{v}$ è perpendicolare a ogni vettore $\mathbf{s} - \mathbf{h}$ con $\mathbf{s} \in S$. Infatti, se $\mathbf{s} \in S$ fosse un punto diverso da $\mathbf{h}$ tale che il vettore $\mathbf{s} - \mathbf{h}$ non è perpendicolare a $\mathbf{v}$, allora esisterebbe un punto $\mathbf{s}'$ in $S$ tale che $|\mathbf{p} - \mathbf{s}'| < |\mathbf{p} - \mathbf{h}|$, il che contraddice il fatto che $\mathbf{h}$ è il punto di $S$ più vicino a $\mathbf{p}$.

Quindi abbiamo dimostrato che il vettore $\mathbf{v}$ è ortogonale a $S$, e quindi $H$ è il punto di $S$ che minimizza la distanza euclidea tra $\mathbf{p}$ e $S$, come richiesto.