[Risolto] disequazioni con valori assoluti

Come da tuo commento di due ore addietro, eccoti le mie
INDICAZIONI SUL PROCEDIMENTO PER SVOLGERE DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
Simboli
* equivalenza: ≡
* intersezione: &
* unione: ||, oppure
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A) I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
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A1) Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
A1a) |a| < b ≡ (- b < a < b) ≡ (- b < a) & (a < b)
A1b) |a| b ≡ (a ± b) ≡ (a - b) || (a + b)
A1c) |a| > b ≡ (a < - b) || (b < a)
e analoghe per le diseguaglianze lasche.
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A2) Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}.
Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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B) ESEMPIO
La disequazione
* |x - 1| + |x + 1| > 5
ha una diseguaglianza stretta e cade nella categoria A1c, con più valori assoluti.
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B1) Il trattamento inizia con "isolare"
* |x - 1| + |x + 1| > 5 ≡
≡ |x - 1| > 5 - |x + 1|
e poi con l'applicazione di A1c dove
* a = (x - 1)
* b = (5 - |x + 1|)
c) |x - 1| > 5 - |x + 1| ≡
≡ (x - 1 < - (5 - |x + 1|)) || (5 - |x + 1| < x - 1)
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B2a) x - 1 < - (5 - |x + 1|) ≡
≡ |x + 1| > x + 4 ≡
≡ (x + 1 < - (x + 4)) || (x + 4 < x + 1) ≡
≡ (x < - 5/2) || (insieme vuoto) ≡
≡ (x < - 5/2)
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B2b) 5 - |x + 1| < x - 1 ≡
≡ |x + 1| > 6 - x ≡
≡ (x + 1 < x - 6) || (6 - x < x + 1) ≡
≡ (insieme vuoto) || (x > 5/2) ≡
≡ (x > 5/2)
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B3) CONCLUSIONE
* |x - 1| + |x + 1| > 5 ≡
≡ (x - 1 < - (5 - |x + 1|)) || (5 - |x + 1| < x - 1) ≡
≡ (x < - 5/2) oppure (x > 5/2) ≡
≡ |x| > 5/2
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B4) CONTROPROVA nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%7Cx-1%7C%2B%7Cx%2B1%7C%3E5%29for+x+real

@nico04

I moduli si liberano. Qui ne hai due: in questo caso devi considerare tre intervalli di x.

Analizziamo solo il primo membro:

ABS(x - 1) + ABS(x + 1)

{ABS(x - 1) = x - 1

{x ≥ 1

poi

{ABS(x - 1) = 1 - x

{x < 1

Analogamente l'altro addendo:

{ABS(x + 1) = x + 1

{x ≥ -1

poi

{ABS(x + 1) = - (x + 1)

{x < -1

Da qui si deduce che, il 1°membro diviene:

per x ≥ 1------> (x - 1) + (x + 1) = 2·x

per x < -1 ------> (1 - x) + - (x + 1) = - 2·x

per-1 ≤ x < 1 -----> (1 - x) + (x + 1) = 2

Quindi, recapitolando, hai tre possibilità di cui l'ultima in questo caso la devi escludere e ti rimangono:

{2x>5

{x>=1  ------->1^ possibilità

poi

{-2x>5

{x<-1-------->2^ possibilità

Soluzione: x < - 5/2 ∨ x > 5/2 (devi fare l'unione delle due possibilità!)