[Risolto] Disequazione goniometrica

Le soluzioni della disequazione sono

$x < -atan(3)$ $o$ $x>-\dfrac{\pi}{4}$

Ora le soluzioni vanno prese limitate ad un periodo, in questo caso ricadono nell'intervallo in cui x varia tra -pi/2 e pi/2.

 Quindi diventano (ricordando la periodocità della funzione tangente)

$-\dfrac{\pi}{2} + k \pi$ < $x$ < $-atan(3) + k\pi $ unione $-\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ <$x$ < $\dfrac{\pi}{2}  + k\pi$

Solitamente le soluzioni vengono riportate nel medesimo intervallo di periodicità.

Quel risultato deriva dal fatto di voler unire le soluzioni in un unico intervallo sfruttando la periodocità nella prima soluzione. Aggiungendo $\pi$ 

$(-\dfrac{\pi}{2} +\pi) + k\pi$ < $x$ < ($-atan(3) +\pi) + k\pi$  = $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ <$x$  < $\pi -atan(3) + k\pi$

Unendo questa soluzione con $-\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ <$x$ < $\dfrac{\pi}{2}  + k\pi$ si ottiene

$-\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ < $x$ < $\pi -atan(3) + k\pi$ (con x=/= pi/2)

Il pezzetto nero evidenziato a sinistra viene traslato per periodicità in quello rosso e la soluzione complessiva diventa quella verde

Riscrivo:

SIN(α)^2 + 4·SIN(α)·COS(α) + 3·COS(α)^2 > 0

pongo:

{Χ = COS(α)

{Υ = SIN(α)

Quindi scrivo il sistema:

{Υ^2 + 4·Χ·Υ + 3·Χ^2 > 0

{Χ^2 + Υ^2 = 1

che risolvo per via grafica osservando che la disequazione si scrive:

(Υ + Χ)·(Υ + 3·Χ) > 0

NON COMPRENDO la laconicità di @LucianoP e
NON SONO D'ACCORDO con l'affermazione iniziale di @Lorenzo_Belometti, che mi pare errata.
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Io cerco di ridurre la disequazione data, di grado due nelle funzioni d'arco, in più disequazioni lineari e quindi affrontabili con metodi noti (coordinate del cerchio unitario [v. @LucianoP], angolo aggiunto, ...)
* sin^2(x) + 4*sin(x)*cos(x) + 3*cos^2(x) > 0 ≡
≡ (sin(x) + 2*cos(x))^2 - cos^2(x) > 0 ≡
≡ (sin(x) + 2*cos(x) + cos(x))*(sin(x) + 2*cos(x) - cos(x)) > 0 ≡
≡ (sin(x) + 3*cos(x))*(sin(x) + cos(x)) > 0 ≡
≡ (sin(x) + 3*cos(x) < 0) & (sin(x) + cos(x) < 0) oppure (sin(x) + 3*cos(x) > 0) & (sin(x) + cos(x) > 0) ≡
≡ ((√10)*sin(x + arctg(3)) < 0) & ((√2)*sin(x + π/4) < 0) oppure ((√10)*sin(x + arctg(3)) > 0) & ((√2)*sin(x + π/4) > 0)
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Risolvendo queste sul primo giro si ha
* (sin(x + π/4) < 0) & (0 <= x < 2*π) ≡ 3*π/4 < x < 7*π/4
* (sin(x + π/4) > 0) & (0 <= x < 2*π) ≡ (0 <= x < 3*π/4) oppure (7*π/4 < x < 2*π)
* (sin(x + arctg(3)) < 0) & (0 <= x < 2*π) ≡ π - arctg(3) < x < 2*π - arctg(3)
* (sin(x + arctg(3)) > 0) & (0 <= x < 2*π) ≡ (0 <= x < π - arctg(3)) oppure (2*π - arctg(3) < x < 2*π)
pertanto, sul primo giro, si ha
* sin^2(x) + 4*sin(x)*cos(x) + 3*cos^2(x) > 0 ≡
≡ ((√10)*sin(x + arctg(3)) < 0) & ((√2)*sin(x + π/4) < 0) oppure ((√10)*sin(x + arctg(3)) > 0) & ((√2)*sin(x + π/4) > 0) ≡
≡ (π - arctg(3) < x < 2*π - arctg(3)) & (3*π/4 < x < 7*π/4) oppure ((0 <= x < π - arctg(3)) oppure (2*π - arctg(3) < x < 2*π)) & ((0 <= x < 3*π/4) oppure (7*π/4 < x < 2*π))
e il seguito di questo si legge meglio sviluppandolo a pezzi.
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* (π - arctg(3) < x < 2*π - arctg(3)) & (3*π/4 < x < 7*π/4) ≡ (3*π/4 < x < 2*π - arctg(3))
* (0 <= x < π - arctg(3)) & ((0 <= x < 3*π/4) oppure (7*π/4 < x < 2*π)) ≡
≡ (0 <= x < π - arctg(3)) & (0 <= x < 3*π/4) oppure (0 <= x < π - arctg(3)) & (7*π/4 < x < 2*π) ≡
≡ (0 <= x < π - arctg(3)) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (0 <= x < π - arctg(3))
* (2*π - arctg(3) < x < 2*π) & ((0 <= x < 3*π/4) oppure (7*π/4 < x < 2*π)) ≡
≡ (2*π - arctg(3) < x < 2*π) & (0 <= x < 3*π/4) oppure (2*π - arctg(3) < x < 2*π) & (7*π/4 < x < 2*π) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (7*π/4 < x < 2*π) ≡
≡ (7*π/4 < x < 2*π)
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CONCLUSIONE (sul primo giro)
* sin^2(x) + 4*sin(x)*cos(x) + 3*cos^2(x) > 0 ≡
≡ (π - arctg(3) < x < 2*π - arctg(3)) & (3*π/4 < x < 7*π/4) oppure ((0 <= x < π - arctg(3)) oppure (2*π - arctg(3) < x < 2*π)) & ((0 <= x < 3*π/4) oppure (7*π/4 < x < 2*π)) ≡
≡ (3*π/4 < x < 2*π - arctg(3)) oppure (0 <= x < π - arctg(3)) oppure (7*π/4 < x < 2*π)
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28sin%5E2%28x%29%2B4*sin%28x%29*cos%28x%29%2B3*cos%5E2%28x%29%3E0%29%26%280%3C%3Dx%3C2*%CF%80%29

SECONDA RISPOSTA
Scusami per il link sbagliato!
Mi capita spesso di dimenticare che questo software del cavolo sporca i link che hanno segni più: o gli metti un doppio meno o incasina tutto
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28sin%5E2%28x%29--4*sin%28x%29*cos%28x%29--3*cos%5E2%28x%29%3E0%29%26%280%3C%3Dx%3C2*%CF%80%29