Salve, qualcuno potrebbe dirmi e spiegarmi i vari passaggi per risolvere questa disequazione esponenziale?
Grazie in anticipo dell'aiuto
Salve, qualcuno potrebbe dirmi e spiegarmi i vari passaggi per risolvere questa disequazione esponenziale?
Grazie in anticipo dell'aiuto
Ciao!
La prima cosa da fare è tentare di ricondursi alla stessa base. Per fare ciò è necessario notare che:
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$ cioè $\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$
Una volta osservato questo, lasciami chiamare $\sqrt{2}+1=a$ e l'equazione si scrive:
$a^x+\frac{1}{a^x} \leq 2$
Adesso moltiplica per $a^x$ a destra e sinistra:
$a^{2x}+1 \leq 2a^x$ --> $a^{2x}-2a^x+1 \leq 0$
Questa è una disequazione di secondo grado in $a^x$. Se adesso chiamiamo $t=a^x$ possiamo scrivere:
$t^2-2t+1 \leq 0$ --> $(t-1)^2 \leq 0$
l'espressione a sinistra è un quadrato, quindi non potrà mai essere $<0$, ma potrà essere $=0$ per $t=1$, quindi per $a^x=1$, cioè per $x=0$.
Quindi $x=0$ è l'unico valore che soddisfa la disequazione. Il grafico seguente conferma il risultato: