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[Risolto] Disequazione esponenziale

  

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Salve, qualcuno potrebbe dirmi e spiegarmi i vari passaggi per risolvere questa disequazione esponenziale? 

Grazie in anticipo dell'aiuto

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Ciao! 

La prima cosa da fare è tentare di ricondursi alla stessa base. Per fare ciò è necessario notare che:

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$ cioè $\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Una volta osservato questo, lasciami chiamare $\sqrt{2}+1=a$ e l'equazione si scrive:

$a^x+\frac{1}{a^x} \leq 2$

Adesso moltiplica per $a^x$ a destra e sinistra:

$a^{2x}+1 \leq 2a^x$  --> $a^{2x}-2a^x+1 \leq 0$

Questa è una disequazione di secondo grado in $a^x$. Se adesso chiamiamo $t=a^x$ possiamo scrivere:

$t^2-2t+1 \leq 0$  --> $(t-1)^2 \leq 0$

l'espressione a sinistra è un quadrato, quindi non potrà mai essere $<0$, ma potrà essere $=0$ per $t=1$, quindi per $a^x=1$, cioè per $x=0$.

Quindi $x=0$ è l'unico valore che soddisfa la disequazione. Il grafico seguente conferma il risultato:

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