[Risolto] Disequazione esponenziale

TEMO CHE NESSUNO POSSA "indicarti la retta via" AL SINGOLARE: ciascuno di noi ha le proprie associazioni mentali, idiodincrasie comprese, e quasi certamente sceglierà vie diverse che non saranno necessariamente rette (credo fosse Flaiano a sostenere che "In Italia la via più breve fra due punti è l'arabesco".) e può darsi che i miei suggerimenti a te sembrino arabeschi.
La cosa importante dovrebb'essere che ti conducano a destinazione senza farti smarrire per strada.
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Esaurita la perla di saggezza quotidiana, passo alla disequazione.
* 5^(4*x/3 + 3)/√(49^(x + 2)) <= 7*(25^x)^(1/3)/(7^x)^(1/3)
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Note preliminari:
* la diseguaglianza d'ordine impone che tutti i valori siano reali;
* le esponenziali sono ovunque positive, così pure le loro radici cubiche.
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Semplificazioni
* 5^(4*x/3 + 3) = (5^3)*(5^(x/3))^4
* √(49^(x + 2)) = ((7^2)^(x + 2))^(1/2) = (7^(2*(x + 2)))^(1/2) = 7^(x + 2) = (7^2)*7^x = (7^2)*(7^(x/3))^3
* (25^x)^(1/3) = ((5^2)^x)^(1/3) = (5^(x/3))^2
* 7/(7^x)^(1/3) = 7/7^(x/3)
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Disequazione
* 5^(4*x/3 + 3)/√(49^(x + 2)) <= 7*(25^x)^(1/3)/(7^x)^(1/3) ≡
≡ (5^3)*(5^(x/3))^4/((7^2)*(7^(x/3))^3) <= 7*(5^(x/3))^2/7^(x/3) ≡
≡ (5^3)*(5^(x/3))^4/((7^3)*(7^(x/3))^3) <= (5^(x/3))^2/7^(x/3) ≡
≡ ((5/7)^3)*(5^(x/3))^4/(7^(x/3))^3 <= (5^(x/3))^2/7^(x/3) ≡
≡ ((5/7)^3)*(5^(x/3))^2/(7^(x/3))^3 <= 1/7^(x/3) ≡
≡ ((5/7)^3)*(5^(x/3))^2/(7^(x/3))^2 <= 1/1 ≡
≡ (5/7)^(2*x/3) <= (5/7)^(- 3) ≡
≡ 2*x/3 <= - 3 ≡
≡ x <= - 9/2
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Chissà dove la vecchiaia ha colpito ancora! Ti tocca verificare i passaggi, scusami.
Per stare sul sicuro vedi la conferma del risultato atteso al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+5%5E%284*x%2F3%2B3%29%2F%E2%88%9A%2849%5E%28x%2B2%29%29%3C%3D7*%2825%5Ex%29%5E%281%2F3%29%2F%287%5Ex%29%5E%281%2F3%29+for+x+real

io porterei tutti gli esponenti con base 5 a sinistra e tutti gli esponenti con base 7 a destra.

ti viene:

$\frac{5^{\frac{4}{3}x+3}}{5^{\frac{2}{3}x}} \leq \frac{7}{7^{x/3}}*\sqrt{49^{x+2}}$

$\frac{5^{\frac{4}{3}x+3}}{5^{\frac{2}{3}x}} \leq \frac{7}{7^{x/3}}*7^{x+2}$

$5^{\frac{2}{3}x+3} \leq 7^{\frac{2}{3}x+3}$

Questo accade solo se l'esponente è maggiore di 0, quindi deve necessariamente essere

$\frac{2}{3}x+3 \geq 0$ e quindi $x \geq -9/2$

di sotto l'andamento di $5^x$ e di $7^x$ come esempio: