Disequazione di grado superiore

@bitty55 

Scomponi per raccoglimento parziale

x^2 (x - 2) - 9 (x - 2) > 0

(x - 2) (x^2 - 9) > 0

(x + 3) (x - 2) (x - 3) > 0

i segni saranno

----- -3 ++++++ -2 ------- 3 ++++++++++

-3 < x < -2 V x > 3

Il fatto che il polinomio non ti sia presentato nella forma canonica, ma con i termini raggruppati per parità (prima i due dei gradi tre e uno, poi i due dei gradi due e zero) non t'ha suggerito nulla?
Ad esempio di mettere in evidenza il massimo comun divisore fra i termini della medesima parità
* x^3 - 9*x - 2*x^2 + 18 > 0 ≡ (x^2 - 9)*x - 2*(x^2 - 9) > 0
da cui
* (x^2 - 9)*(x - 2) > 0
espressione a cui puoi anche giungere come t'ha mostrato @EidosM, riportando prima l'ordine dei termini alla forma canonica e poi mettendo in evidenza il massimo comun divisore fra i primi due e gli ultimi due.
Quest'espressione è vera, cioè il prodotto dei due binomi è positivo, se essi sono concordi
* (x^2 - 9)*(x - 2) > 0 ≡
≡ (x^2 < 9) & (x < 2) oppure (x^2 > 9) & (x > 2) ≡
≡ (|x| < 3) & (x < 2) oppure (|x| > 3) & (x > 2) ≡
≡ (- 3 < x < 2) oppure (x > 3)
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Questa procedura risolutiva, mia e/o di EidosM, ha però UN GROSSO DIFETTO DAL PUNTO DI VISTA DI UN ALUNNA/O che si stia iniziando ad allenare nella manipolazione di polinomi e dis/equazioni razionali intere: e il difetto è che, per essere innescata, richiede un colpo d'occhio già allenato a riconoscere configurazioni che facilitino la risoluzione!
Per chi è principiante sarebbe invece ideale una procedura risolutiva basata su sole manipolazioni formali e che non richieda abilità personali, ma richieda solo d'avere studiato bene (conoscere la teoria, averne compreso i significati, aver capito come applicarla nei casi concreti degli esercizi).
Ebbene, per le dis/equazioni razionali intere a coefficienti razionali, la si può costruire; però ovviamente, dovendo valere in generale, tale procedura risulterà, in ciascun caso particolare, più onerosa da calcolare rispetto a quelle da ictus oculi.
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La considerazione di base è che gli zeri reali di un polinomio p(x) ripartiscono l'asse x in intervalli in ciascuno dei quali p(x) ha segno costante e che i segni di intervalli adiacenti sono discordi se lo zero che li separa è di ordine dispari o sono concordi se lo zero è di ordine pari.
Una volta portata l'espressione alla forma canonica monica
* p(x) = x^n + ... + TN <relazione> 0
dove
* la <relazione> è un operatore di dis/eguaglianza
* il termine noto TN è una frazione con numeratore n intero e denominatore d naturale
se p(x) ha zeri razionali essi sono tutti esclusivamente fra i divisori del termine noto se TN è intero (d = 1) ovvero, se d > 1, fra i rapporti fra i divisori di n e i divisori naturali di d.
Trovato un eventuale zero razionale c, e rammentando che p(x) è divisibile per il binomio "x - c", il quoto q(x) della divisione è il risultato di un abbassamento di grado.
Eliminati così tutti gli zeri razionali il q(x) residuo ha solo zeri complessi o reali irrazionali.
Essendo razionali i coefficienti di p(x) gli eventuali zeri complessi si presentano solo in coppie coniugate e quindi danno luogo a un trinomio quadratico monico positivo ovunque e pertanto eliminabile senza influire sul segno lasciando un q(x) che è costante (quindi di segno noto) oppure ha solo zeri reali irrazionali da localizzare con altri mezzi, che esulano da questa procedura.
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APPLICAZIONE a «... mostrarmi i passaggi per risolvere questa disequazione ...?»
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A) Ricavare la forma canonica monica
* "x^3-9x-2x^2+18>0" ≡ p(x) = x^3 - 2*x^2 - 9*x + 18 > 0
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B) Elencare i potenziali zeri razionali "z"
* Z = {z} = {- 18, - 9, - 6, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
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C) Valutare p(z) (nella forma economica p(z) = ((z - 2)*z - 9)*z + 18) per ogni z in Z ed elencare le coppie {z, p(z)}
L'elenco è
* {{- 18, - 6300}, {- 9, - 792}, {- 6, - 216}, {- 3, 0}, {- 2, 20}, {- 1, 24}, {1, 8}, {2, 0}, {3, 0}, {6, 108}, {9, 504}, {18, 5040}}
in cui si identificano i tre zeri
* {- 3, 0}, {2, 0}, {3, 0}
che consentono di
C1) escludere la necessità di cercare zeri non razionali
C2) fattorizzare p(x) = x^3 - 2*x^2 - 9*x + 18 = (x + 3)*(x - 2)*(x - 3)
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D) Risolvere la disequazione nella forma fattorizzata
* p(x) = (x + 3)*(x - 2)*(x - 3) > 0