All' interno di un cerchio di centro $\mathrm{O}$, considera due punti $\mathrm{Pe} \mathrm{Q}$ non allineati con $\mathrm{O}$ ed equidistanti da $\mathrm{O}$. Detti rispettivamente $A$ e $B$ i punti di intersezione tra le semirette, di origine $O, O P e O Q$ e la circonferenza, dimostra che:
a. i segmenti $A B$ e PQ sono paralleli;
b. il trapezio $A B Q P$ è isoscele.
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Livello 0
ciao,
interpretiamo le informazioni fornite per fare una costruzione:
dati i due punti P e Q che giacciono nel semipiano finito delimitato dal cerchio C1 e non allineati con il centro O, essendo equidistanti dal centro O, possiamo pensarli come appartenenti alla circonferenza C2 di centro O e raggio OP.
Sia A il prolungamento di OP su C1 e B il prolungamento di OQ si C1, dimostriamo che i segmenti PQ e AB sono paralleli e che il trapezio ABPQ è isoscele.
Per le proprietà di concentricità e assialsimmetria di C1 e C2, si ha che OA=OB e quindi i due triangoli OPQ e OAB sono isosceli con l'angolo al vertice in comune (QOP=BOP). Poiche angoli supplementari allo stesso angolo sono congruenti, allora anche gli angoli alla base sono congruenti (OPQ=PQO=OAB=ABO). Inoltre essendo le rette passanti per le corde PQ e AB tagliate dalla retta trasversale passante per OP e formando 2 angoli corrispondenti OPQ e OAB, allora le due corde PQ e AB sono parallele.
Infine siccome OA=OB e OP=OQ, allora anche OA-OP=OB-OQ. Quindi essendo PA=QB e QP//AB, il trapezio QPAB è isoscele.
ciao 😀
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Livello 1
I due triangoli OAB e OPQ sono isosceli e simili. Gli angolo alla base sono uguali e corrispondenti, quindi AB e PQ sono lati paralleli.
Il trapezio ABPQ è isoscele, ha le basi parallele, i lati obliqui uguali perchè si ottengono facendo:
raggio - OP;
raggio - OQ;
Op e OQ sono uguali per costruzione; i raggi OA e OB sono uguali.
@ruben ciao.
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