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[Risolto] Determinazione autovalori e autovettori matrice  

  

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Esercizio 9.19. Si consideri la matrice ad elementi reali
\[
A=\left[\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 8 & -1
\end{array}\right]
\]
a) Determinare autovalori e autovettori della matrice data.
b) Stabilire se la matrice data diagonalizzabile.

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1 Risposta
1

Ciao!

Troverai di seguito uno schema per trovare autovalori ed autovettori per qualsiasi esercizio:

Calcolo di autovalori e autovettori
Sia ora $A$ quadrata di tipo $n \mathrm{X}$ n: Il problema del calcolo di autovalori e autovettori coinvolge il sistema lineare $(A-\lambda I) u=0,$ con $u$ nullo
Sappiamo che il calcolo di una soluzione non nulla $u$ è possibile se e soltanto se det $(A-\lambda I)=0 .$ L'equazione
\[
\operatorname{det}(A-\lambda I)=|A-\lambda I|=0
\]
È detta equazione caratteristica di $A$
Si calcola quindi il determinante della matrice caratteristica
\[
A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} & \ldots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \ldots & a_{n n}-\lambda
\end{array}\right)
\]
Si può dimostrare che det $(A-\lambda \lambda \text { è un polinomio di grado } n \text { in } \lambda$
\[
p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)=(-1)^{n} \lambda^{n}+c_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+c_{1} \lambda+c_{0}
\]
Detto polinomio caratteristico.

In pratica, quindi, per calcolare autovalori e autovettori possiamo:
1. determinare le radici del polinomio caratteristico
\[
p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)=0
\]
2. Per ogni autovalore determinato al punto 1 ), risolvere il sistema lineare
\[
(A-\lambda I) u=0
\]
Per calcolare gli autovettori associati a $\lambda$

 

 

 

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