Determina il maggiore fra i due numeri 12^9 e 9^12

Cerca di avere potenze di uguale base per poterle semplificare con le regole delle potenze.

1)   9^12 = (3^2)^12 = 3^24;

2)  12^9 = (3 * 4)^9 = 3^9 * 4^9;

9^12 maggiore o minore di  12^9 ?

3^24 maggiore o minore di 3^9 * 4^9 ?

dividiamo per 3^9; facciamo la sottrazione degli esponenti.

3^15 maggiore o minore di  4^9 ?

scriviamo una potenza di potenza per avere uno stesso esponente, così confrontiamo le basi:

(3^5)^3 maggiore o minore di   (4^3)^3 ?

3^5 maggiore o minore di  4^3 ?

adesso gli esponenti sono numeri primi, non si può più diminuire.

Ce la facciamo senza calcolatrice

3^5 = 3^2 * 3^2 * 3 = 9 * 9 * 3 = 81 * 3 = 243;

4^3 = 4^2 * 4 = 16 * 4 = 64;

3^5 > 4^3;

quindi:

9^12 > 12^9 .

Ciao  @paky_03_

$9^{12} > 12^9$ ?

$(3^2)^{12}> 4^9*3^9$ ?

$3^{24}> 4^9*3^9$ ?

$3^{15}> 4^9$ ?

$(3^5)^3> 4^9$ ?

$3^5> 4^3$ ?

243>64 ?

SI

log 12^9 = 9 log 12 = 9.712

log 9^12 = 12 log 9 = 11.451

così 9^12 > 12^9 

Con
* 12 = 3*2^2
* 9 = 3^2
si ha
* 12^9 = (2^18)*(3^9)
* 9^12 = 3^24
e si costruisce il rapporto
* r = 12^9/9^12 = (2^18)*(3^9)/3^24 =
= (2^3)*(2^15)/3^15 =
= 8*(2/3)^15 ~=
~= 8*0.002 = 0.016 < 1
quindi
* 12^9 < 9^12

Buon pomeriggio @paky_03_

9^12 > 12^9

Se non si ha a disposizione una calcolatrice.

Confronto fra:

12^9 = (12^3)^3    e    9^12 = (9^4)^3

Si sposta con il confronto fra:

12^3 = 2^6·3^3 e 9^4 = 3^8

fai rapporto fra le potenze trovate:

2^6·3^3/3^8 = 64/243

La seconda potenza è maggiore della prima.