[Risolto] Derivate e rette tangenti

Se y^2 = 4ax

allora yo^2 = 4axo

Derivando rispetto a x nel punto P

2yo y'(xo) = 4a

ed essendo y'(xo) = m

m yo = 2a => yo = 2a/m

yo^2 = 4a^2/m^2

per cui

4a xo = 4a^2/m^2

xo = a/m^2

y - yo = m (x - xo)

y - 2a/m = mx - m * a/m^2

y = mx + 2a/m - a/m

y = mx + a/m

Per dimostrare che l'equazione della retta tangente alla parabola y^2 = 4ax è y = mx + a/m, possiamo seguire i seguenti passaggi:

1. Trovare la funzione della parabola y^2 = 4ax e identificare la pendenza della tangente alla parabola in un punto generico P(x_0, y_0).

2. Calcolare l'equazione della retta tangente alla parabola in P utilizzando la pendenza trovata e il punto P

3. Conferma che la retta trovata sia effettivamente tangente alla parabola.

4. La parabola y^2 = 4ax ha l'equazione: y = +/- sqrt(4ax) La pendenza della tangente alla parabola in un punto generico P(x_0, y_0) è data dalla derivata prima della funzione y rispetto a x, ovvero: m = dy/dx = (1/2)*(4a)^(-1/2) * 2y = y/(2ax)^(1/2)

5. Utilizzando il punto P(x_0, y_0) troviamo l'equazione della retta tangente, ovvero y - y_0 = m(x - x_0) Sostituendo la pendenza e i valori del punto troviamo: y - y_0 = (y_0/(2ax_0)^(1/2))(x - x_0)

6. Per confermare che la retta trovata sia tangente alla parabola dobbiamo valutarla nel punto P. Sostituendo x_0, y_0 nell'equazione della retta troviamo: y = y_0 + (y_0/(2ax_0)^(1/2))(x - x_0) Sostituendo questo nella funzione della parabola y^2 = 4ax e valutandola in x_0 si può verificare che: y_0^2 = 4ax_0 quindi y_0 = +/- sqrt(4ax_0)

e si ottiene y = (y_0/(2ax_0)^(1/2))x + y_0 - (y_0/(2ax_0)^(1/2))x_0 = (y_0/(2ax_0)^(1/2))x + a/m

che è la forma generale dell'equazione della retta tangente alla parabola y^2 = 4ax, ovvero y = mx + a/m

La parabola
* Γ ≡ y^2 = 4*a*x ≡ x = y^2/(4*a)
ha come generico punto cursore, al variare dell'ordinata
* C(k^2/(4*a), k)
e pendenza
* m(x) = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(y/(2*a)) = 2*a/y
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La tangente in C risulta
* t(k) ≡ y = k + (m(k^2/(4*a)))*(x - k^2/(4*a)) ≡
≡ y = k + (2*a/k)*(x - k^2/(4*a)) ≡
≡ y = (2*a/k)*x + k/2
che, per m = 2*a/k, comporta a/m = a/(2*a/k) = k/2 e quindi coincide con la tesi.
QED