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[Risolto] Derivate

  

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La curva in figura rappresenta il grafico di una funzione $f(x)$ continua in $\mathbb{R}$ ed è costituita da due archi di parabola.
Utilizzando i dati deducibili dalla figura, determina:
a. l'espressione analitica della funzione;
b. i punti stazionari della curva e verifica che hanno la stessa ordinata;
c. le coordinate degli eventuali punti, diversi da $A$, in cui la normale alla curva risulta parallela o perpendicolare al segmento $A B$;
d. per quali $x \in \mathbb{R}$ esiste $f^{\prime}(x)$ e verifica che $f^{\prime}(x)$ ha segno costante.

image

La richiesta c del problema per favore…

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Screenshot 20230207 220856

La parabola di sinistra interseca l'asse y in (0;2)

c=2

Ha asse di simmetria x= - 1 => b=2a

Quindi:

y= ax² + 2ax + 2

 

Imponendo la condizione di appartenenza del punto (-3;5) alla curva si ricava il valore del parametro a 

a=1 => y= x²+2x+2

 

Seconda parabola:

c=2

Asse di simmetria x=4 => b= - 8a

Quindi: y=ax² - 8ax + 2

Derivata della funzione in A perpendicolare alla retta AB (coefficiente angolare 2)

Il coefficiente angolare della retta tangente la conica nel punto A deve essere - 1/2 (condizione coefficienti antireciproci) 

 

m_t = 2*a*x - 8a |x=0 = - 1/2  => a= 1/16

 

Quindi la parabola ha equazione:

y= (1/16)*x² - x/2 + 2

 

Screenshot 20230207 222033

 

Quindi la richiesta C) equivale a determinare gli eventuali punti nei quali la retta tangente la curva è perpendicolare o parallela al segmento AB (perpendicolare m= - 1/2 ; parallela m=2)

 

Il coefficiente angolare della retta tangente la prima parabola è: m= 2x + 2

 

Il coefficiente angolare della retta tangente la seconda parabola è: m1= (1/8)x - 1/2

 

Imponendo le condizioni m=-1/2 ; m=2; m1= - 1/2 ; m1= 2 determini gli altri punti 

 

👍



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SOS Matematica

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