derivate

y = (x^2 + a·x)/(x^2 + b)

tale funzione ha asintoto verticale x=3 se il denominatore si può scomporre in:

x^2 + b = (x - 3)·(x + c)

x^2 + b = x^2 + x·(c - 3) - 3·c

il termine intermedio deve essere nullo c=3: quindi b=-9

La funzione diventa quindi del tipo:

y = (x^2 + a·x)/(x^2 -9)

ed ammette come derivata: y'=dy/dx=- (a·x^2 + 18·x + 9·a)/(x^2 - 9)^2

che per x=0 vale:

- (a·0^2 + 18·0 + 9·a)/(0^2 - 9)^2 = - a/9

valore che deve essere pari al coefficiente angolare della retta:

2·x - 9·y + 9 = 0-------> y = (2·x + 9)/9: m=2/9

Quindi:

- a/9 = 2/9----> a = -2

Quindi la funzione che soddisfa il punto a) è: y = (x^2 - 2·x)/(x^2 - 9)

-----------------------------------------------------------------------------------------

Punto c)

tangente al grafico è orizzontale: y'=2·(x^2 - 9·x + 9)/(x^2 - 9)^2 =0

x^2 - 9·x + 9 = 0----> x =  (9 -3·√5 )/2 ∨ x = ( 9 +3·√5)/2

---------------------------------------------------------------------------------------

punto b)

------------------------------------------------------------------------------

punto d)

 

Per l’ultimo punto ti basta uno studio di funzione che al momento non ho tempo di fare. Per i punti in cui non è derivabile studia i punti di intersezione con le ascisse. 
Se non riesci fammi sapere che domani se trovo cinque minuti te lo faccio