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[Risolto] Convergenza di una serie con seno e logaritmo

  

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Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio:

La serie $\sum_{n=3}^{∞<}{(n+3)^2 sen(\frac{4}{n^3}) log(1 - \frac{2}{n})}$

 

a) diverge a +

b) converge a un numero positivo

c) converge a un numero negativo

d) diverge a -

 

Ho calcolato il $\lim_{x\to ∞ }{a_n}$ che come risultato da 0, dunque so che potrebbe convergere.

Ho pensato di usare il confronto asintotico e riscrivere $a_n$ come:

$n^2 (\frac{4}{n^3}) (1- \frac{2}{n})$ ma non so se il ragionamento è giusto, qualcuno può darmi un suggerimento?

Grazie in anticipo.

 

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SECONDO ME, CONVERGE A UN VALORE NEGATIVO.
Nota
Quella appena dichiarata è una mia congettura (non un'ipotesi campata per aria) perché in un'oretta di tentativi (grazie del passatempo!) non sono riuscito a dimostrarla; nel caso venga confutata, allora la serie diverge a meno infinito.
==============================
IMPOSTAZIONE DEI TENTATIVI
------------------------------
Dei fattori che compongono il generico a(k), con k > 2,
* a(k) = ((k + 3)^2)*(ln((k - 2)/k))*sin((2/k)^2)
il prodotto
* p(k) = ((k + 3)^2)*ln((k - 2)/k)
è asintotico a
* P(k) = - 2*k - 14
mentre il fattore
* sin((2/k)^2)
è asintotico a zero, ma mi pare che ci vada con andamento esponenziale e non come 1/k^3.
---------------
Nel caso che si sia trattato di un "errore di dito" e che tu intendessi scrivere "4/n^2" sfruttando l'approssimazione "sin(x) ~= x" intorno all'origine, si avrebbe
* a(k) = ((k + 3)^2)*(ln((k - 2)/k))*sin((2/k)^2) ~≡
~≡ b(k) = - 8*(k + 7)/k^2
con
* s(n) = Σ [k = 3, n] (- 8*(k + 7)/k^2)
il cui limite però diverge a meno infinito.
---------------
Con molte scuse per l'inefficienza (non è una botta di vecchiaia, è proprio vecchiaia!).

@exprof grazie per la risposta, dunque il confronto asintotico è la via migliore per risolvere la serie?

Forse non si vede bene nell'immagine del testo ma l'argomento del seno è (4/n^3) e non (4/n^2).




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La serie va per n->oo come   n^2 * 4/n^3 * -2/n = - 8/n^2 e quindi converge

 

essendo asintoticamente equivalente ad una serie armonica generalizzata con esponente p > 1.

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