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Condizioni di esistenza di un radicale

  

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√((4x-1)/x - 4x) + √(1-2x)                                                  [x<0 V x=1/2]

20220901 104251 3

 

il sistema per trovare le condizioni d'esistenza mi viene

{4x-1-4x^2 ≥ 0

{x > 0

{1-2x ≥ 0

 

{x = 1/2

{x > 0

{x ≤ 1/2

 

ma con queste condizioni il grafico di sistema é

_________________

             _________ |__________

_______|_________|__________

            0              1/2

 

che mi dà soluzione finale: 0<x1/2 , che però é sbagliata

Qualcuno riesce ad aiutarmi?

Autore

@blackvirus 

Ti conviene sempre studiare una disequazione fratta (alla forma normale) anziché prendere in considerazione due sistemi. Ciao Buona giornata.

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4 Risposte



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@frequentante.liceo 

Studiamo separatamente il campo di esistenza delle due radici. Una volta determinati gli intervalli in cui i radicandi risultano positivi o nulli, troviamo la condizione di esistenza dell'espressione INTERSECANDO (entrambe le condizioni verificate) le due precedenti condizioni. 

 

Prima radice:

[(4x - 1 - 4x²) /x ]>=0

 

Il numeratore è il quadrato di un binomio ed essendo il coefficiente di grado 2 minore di zero, è sempre negativo e nullo per x=1/2.

L'intera frazione risulta quindi positiva se il denominatore è negativo, ossia x<0.

Quindi.: {x<0 v x= 1/2}

 

Seconda radice:

La condizione di esistenza della seconda radice è:

x<= 1/2

 

Dobbiamo quindi fare l'intersezione delle due soluzioni, ossia verificare in quali intervalli sono entrambe verificate.

Ciò avviene se:

x<0 v x= 1/2

@stefanopescetto 

L'intera frazione risulta quindi positiva se x<0.

ragionando per logica capisco che se il numeratore é sempre negativo (e nullo per x = 1/2) é necessario che anche il denominatore sia negativo perché la frazione sia positiva ma non capisco come giustificarlo matematicamente

@frequentante.liceo 

Il numeratore è quindi una linea sempre tratteggiata (segno meno) valore 1/2 a parte.

Il denominatore è positivo per x>0 ed è quindi una linea tratteggiata fino ad x=0 e poi linea unita da zero in avanti.

Studi il segno del quoziente e vedi che è positivo dove numeratore e denominatore hanno segno concorde ( - -)

Quindi x<0

x=1/2 va bene poiché è il valore che rende nulla l'intera frazione 

@stefanopescetto ok grazie

@frequentante.liceo 

Figurati. Buona giornata 



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Ciao.

Parti con il piede sbagliato:

{4x-1-4x^2 ≥ 0

{x > 0

{1-2x ≥ 0

Così facendo ti dimentichi che hai pure le possibilità:

{4·x - 1 - 4·x^2 ≤ 0

{x < 0

{1-2x ≥ 0

-------------------------------------

Il primo sistema ti dà soluzione:[x = 1/2]

Il secondo sistema ti dà soluzione: [x < 0]

Quindi devi avere come soluzione finale:

x < 0 ∨ x = 1/2

 

@lucianop ah giusto, grazie per la spiegazione



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La condizione di esistenza di ogni radicale, e quindi della loro somma, è: PER OGNI RADICANDO.
I radicali, in quanto potenze, sono definiti ovunque.
Quindi il loro insieme di definizione coincide col dominio.
------------------------------
Se però vuoi calcolare l'insieme di definizione reale della somma di due radicali con indice pari
* √((4*x - 1)/x - 4*x) + √(1 - 2*x)
esso consiste nella condizione composta: nessun denominatore nullo e nessun radicando negativo, cioè
* (x != 0) & ((4*x - 1)/x - 4*x >= 0) & (1 - 2*x >= 0)
Il terzo congiunto (1 - 2*x >= 0 ≡ x <= 1/2) assorbe il primo e semplifica la condizione
* ((4*x - 1)/x - 4*x >= 0) & (x <= 1/2) ≡
≡ (- (2*x - 1)^2/x >= 0) & (x <= 1/2) ≡
≡ (((2*x - 1)^2/x = 0) oppure (1/x < 0)) & (x <= 1/2) ≡
≡ ((x = 1/2) oppure (x < 0)) & (x <= 1/2) ≡
≡ (x = 1/2) & (x <= 1/2) oppure (x < 0) & (x <= 1/2) ≡
≡ (x = 1/2) oppure (x < 0)
che è proprio il risultato atteso.



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Se è un radicale libero direi che se la passa bene, se è al gabbio se la passa di m..da 🤭



Risposta
SOS Matematica

4.6
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