classificazione quadriche

Problema:

Si studi il fascio di quadriche al variare del parametro $k$:

$Q_k: 2x^2+(1+k)y^2+5(1+k)z^2-4(1+k)yz+4x-2y+4z+3=0$

Soluzione:

Attendere la verifica della correttezza della soluzione dato che sto ancora studiando questi argomenti; mi sono fatta aiutare da mathgpt per la stesura dato che era lungo da scrivere, mi sembra corretto.

La matrice associata alla forma quadrica è 
\[
A=\begin{pmatrix}
2&0&0\\
0&1+k&-2(1+k)\\
0&-2(1+k)&5(1+k)
\end{pmatrix},
\qquad
\mathbf b=(4,\,-2,\,4)^T,\qquad c=3.
\]

Il centro \(C=(x_0,y_0,z_0)\) si trova risolvendo \(\nabla(Q_k)=0\).
\[
\begin{cases}
4x+4=0\quad\Rightarrow x_0=-1,\\
2(1+k)y-4(1+k)z-2=0,\\
10(1+k)z-4(1+k)y+4=0.
\end{cases}
\]

Quindi
\[
C=\Bigl(-1,\;\tfrac1{1+k},\;0\Bigr).
\]

Si calcola il termine indipendente dopo il cambio di coordinate \(\mathbf X=C+\mathbf X'\):
\[
\Delta
= C^T A\,C+\mathbf b\cdot C +3
= \frac{k}{1+k}.
\]
La quadrica si scrive allora, in coordinate centrali,
\[
2{x'}^2+(1+k)\bigl({y'}^2+5{z'}^2-4y'z'\bigr)
\;=\;-\,\frac{k}{1+k}.
\]

Si studiano il segno del membro di destra e la firma della forma quadratica:

La sottomatrice sui due indici \((y,z)\) è proporzionale a
\(\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}\), che è definita positiva.
Quindi la firma di \(A\) è
 \((+,+,+)\) se \(1+k>0\) (cioè \(k>-1\)),
\((+ ,0,0)\) se \(k=-1\),
\((+,-,-)\) se \(1+k<0\) (cioè \(k<-1\)). Il termine di destra
\[
-\frac{k}{1+k}
\begin{cases}
>0&\text{se }-1<k<0,\\
=0&\text{se }k=0,\\
<0&\text{se }k>0\text{ o }k<-1\,.
\end{cases}
\]

\(k>0\): la forma è definita positiva e il lato destro è negativo $\implies$ nessun punto reale (insieme vuoto).

\(-1<k<0\): forma definita positiva e RHS \(>0\) $\implies$ ellissoide centrale.

 \(k=0\): forma definita positiva e RHS \(=0\) $\implies$ punto singolo \(C=(-1,1,0)\).

 \(k=-1\): grado di fatto parabolico (cilindro parabolico), perché la parte in \((y,z)\) decade a rango zero.

 \(k<-1\): firma \((+,-,-)\) e RHS \(<0\) $\implies$ iperboloide.