[Risolto] Circonferenza geometria analitica

Il centro C ha coordinate C( x ; 3x - 7/2)

A) Poniamo AC^2 = BC^2

(x -4 )^2 + (3x - 3/2)^2 = (x + 2)^2 + (3x - 9/2)^2 

x^2 - 8x + 16 + 9x^2 - 9x + 9/4 = x^2 +4x + 4 + 9x^2 - 27x + 81/4

Con un po'di algebra sì ottiene 6x = 6 

quindi x = 1.    C( 1 ; -1/2 )    R = (√45)/2

B) Tangenti

La retta AB ha coeff. ang = -1/2

Perciò la tangente parallela sarà y = -1/2 x + k

1/2 x + y - k = 0

Poniamo che la distanza della retta dal centro sia uguale al raggio:

| 1/2 - 1/2 + k| / (1/4 + 1) = (√45) / 2

2 |k| = (√225)/2

4 |k| = 15 

k1 = 15.  k2 = -15

Il raggio vettore è perpendicolare alla corda AB nel suo punto medio M

Determini la retta perpendicolare ad AB passante per M. L'intersezione della retta trovata con quella data fornisce le coordinate del centro C 

A) DETERMINARE L'EQUAZIONE
"avente il centro C sulla retta 6x - 2y - 7 = 0 ≡ y = (6*x - 7)/2" ≡ C(c, (6*c - 7)/2)
"circonferenza Γ per A(4, - 2) e B(- 2, 1)" ≡ C(c, (6*c - 7)/2) è equidistante da A e B
* |CA|^2 = 10*c^2 - 17*c + 73/4
* |CB|^2 = 10*c^2 - 23*c + 97/4
* |CA|^2 = |CB|^2 ≡
≡ 10*c^2 - 17*c + 73/4 = 10*c^2 - 23*c + 97/4 ≡ c = 1
da cui
* C(1, - 1/2)
* |CA|^2 = |CB|^2 = r^2 = 45/4
* Γ ≡ (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = 45/4
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B) "verificato che A e B sono estremi di un diametro" ≡ l'area di ABC è zero
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%284%2C-2%29%28-2%2C1%29%281%2C-1%2F2%29area
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C) "equazioni delle rette parallele ad AB tangenti Γ"
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La congiungente diametrale è
* AB ≡ y = - x/2
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Il fascio improprio di pari pendenza è
* p(h) ≡ y = h - x/2
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Il sistema
* p(h) & Γ ≡ (y = h - x/2) & ((x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = 45/4)
ha risolvente
* (x - 1)^2 + (h - x/2 + 1/2)^2 - 45/4 = 0 ≡
≡ 5*x^2 - 2*(2*h + 5)*x + (2*h + 1)^2 - 41 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(h) = - 4*(4*h + 15)*(4*h - 15) = 0 ≡
≡ h = ± 15/4
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Le richieste tangenti risultano
* t1 ≡ p(- 15/4) ≡ y = - 15/4 - x/2
* t2 ≡ p(+ 15/4) ≡ y = + 15/4 - x/2
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-x%2F2-y%29*%28-15%2F4-x%2F2-y%29*%2815%2F4-x%2F2-y%29%3D0%2C%28x-1%29%5E2%3D45%2F4-%28y--1%2F2%29%5E2%5D