[Risolto] N 292

@stef8989

Ciao. Dopo pranzo ti mando la risoluzione. per il momento accontentati del mio allegato grafico:

Riprendo.

Punti sulla circonferenza A(1,5) e B(5,-1)

C sta su x + 3·y = 9----> y = 3 - x/3 significa che C(x, 3-x/3)

Imponiamo l'equidistanza da A e da B di C: CA = CB

√((x - 1)^2 + (3 - x/3 - 5)^2) = √((x - 5)^2 + (3 - x/3 + 1)^2)

Eleviamo al quadrato:

(x^2 - 2·x + 1) + (x^2/9 + 4·x/3 + 4) =

 = (x^2 - 10·x + 25) + (x^2/9 - 8·x/3 + 16)

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semplifichiamo

10·x^2/9 - 2·x/3 + 5 = 10·x^2/9 - 38·x/3 + 41

10·x^2/9 - 2·x/3 + 5 - 10·x^2/9 + 38·x/3 - 41 = 0

12·x - 36 = 0

x = 3

[3, 3 - 3/3]--------------------> C(3,2)

Quindi un unico punto sulla retta data nel testo. E' facile vedere che tale punto coincide con le coordinate del punto medio di AB:

{x = (1 + 5)/2 = 3

{y = (-1 + 5)/2 = 2

Quindi AB è diametro.

Il coefficiente angolare di tale diametro vale: m = (-1 - 5)/(5 - 1)----> m = - 3/2

e sarà quindi lo stesso per le rette parallele cercate.

La retta perpendicolare al diametro per C è invece con m = 2/3 ed ha equazione:

y - 2 = 2/3·(x - 3)------> y = 2·x/3 passa per l'origine

La circonferenza ha equazione cartesiana:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = r^2

dovendo passare per A(1,5):

(1 - 3)^2 + (5 - 2)^2 = r^2------> 13 = r^2

quindi:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 13-------> x^2 + y^2 - 6·x - 4·y = 0

Mancando del termine noto, passa per O

Quindi una prima retta tangente parallela ad AB:  y = - 3/2·x

Quindi l'altro punto simmetrico di O(0,0) rispetto a C(3,2) è: D(6,4)

Retta tangente alla circonferenza in D è:

y - 4 = - 3/2·(x - 6)------> y = 13 - 3·x/2