[Risolto] Circonferenza

RIPASSI
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Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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Tutte e sole le circonferenze che passano da due dati punti A(a, p) e B(b, q) hanno il centro C sull'asse del segmento AB e hanno la comune distanza come raggio.
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Determinare l'equazione di una circonferenza equivale a trovare i tre parametri (a, b, q).
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NEL CASO IN ESAME
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* {A(a, p), B(b, q)} ≡ {A(- 1, 0), B(3, 2)}, con (p != q) ≡ (0 != 2)
* asse(AB) ≡ y = (2*(3 - (- 1))*x + (- 1)^2 - 3^2 + 0^2 - 2^2)/(2*(0 - 2)) ≡
≡ y = 3 - 2*x
* C(k, 3 - 2*k)
* q = r^2 = |CA|^2 = |CB|^2 = 5*(k^2 - 2*k + 2)
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (3 - 2*k))^2 = 5*(k^2 - 2*k + 2) >= 5 > 0
quest'ultima è l'equazione del fascio di circonferenze per i punti A e B, parametrizzata dall'ascissa del centro.
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La tangenza con la retta
* t ≡ x = 4
si ottiene per i valori del parametro, se ce ne sono, che annullano il discriminante della risolvente del sistema dei punti comuni
* sistema: t & Γ(k)
* risolvente: (4 - k)^2 + (y - (3 - 2*k))^2 - 5*(k^2 - 2*k + 2) = 0
* discriminante: Δ(k) = 16*(k^2 - k/2 - 3/2) = 16*(k + 1)*(k - 3/2)
* parametri annullanti: (k = - 1) oppure (k = 3/2)
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Le richieste circonferenze risultano
* Γ(- 1) ≡ (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25
* Γ(3/2) ≡ (x - 3/2)^2 + y^2 = 25/4
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%3D4%2C%28x%2B1%29%5E2%2B%28y-5%29%5E2%3D25%2C%28x-3%2F2%29%5E2%2By%5E2%3D25%2F4%5D