[Risolto] Geometria con le proporzioni

Per la nomenclatura ti serve un disegno di riferimento.
Traccia una circonferenza di raggio r ed un suo diametro AB (p.es. orizzontale).
Su una semicirconferenza (p.es. quella superiore) traccia un punto C e, da C, abbassa la perpendicolare ad AB fino al piede nel punto H.
Il triangolo ABC è rettangolo in C (è inscritto in una semicirconferenza e il diametro AB è l'ipotenusa), con altezza CH, cateti AC e BC, proiezioni dei cateti AH e HB.
---------------
Nomino le entità in esame
* |AB| = c = 2*r
* |AC| = b
* |BC| = a
* |AH| = t
* |BH| = s
* |CH| = h
* perimetro p = a + b + c
* area S = a*b/2 = c*h/2
---------------
e ricapitolo i teoremi sul triangolo rettangolo.
Teorema di Pitagora: c^2 = a^2 + b^2; b^2 = s^2 + h^2; a^2 = t^2 + h^2.
I teorema di Euclide: a^2 = t*c; b^2 = s*c.
II teorema di Euclide: h^2 = s*t = (a*b/c)^2.
==============================
IL TUO PROBLEMA
Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2.
Risultato atteso: 168
Dati
* area S = a*b/2 = c*h/2 = 756
* |BC| = a = 21
* |CH| = h = 20.16 = 504/25
Si chiede di calcolare il perimetro usando le proporzioni.
------------------------------
RISOLUZIONE
---------------
"Si deve fare con le proporzioni" vuol dire usando le espressioni dell'area e/o i due teoremi di Euclide in quanto nell'area
* S = a*b/2 = c*h/2 = 756 ≡ a*b = c*h = 1512
l'eguaglianza "a*b = c*h" vuol dire
* h : a = b : c ≡ 504/25 : 21 = b : c ≡ c = 21*b/(504/25) = (25/24)*b
e l'eguaglianza "a*b = 1512 = 21*72" vuol dire
* 21 : a = b : 72 ≡ b = 1512/21 = 72 →
→ c = (25/24)*b = (25/24)*72 = 75
da cui
* perimetro p = a + b + c = 21 + 72 + 75 = 168

Con formula inversa l'altro cateto misura:

2·756/21 = 72 cm

L'ipotenusa misura con Pitagora:

√(21^2 + 72^2) = 75 cm

perimetro= 21 + 72 + 75 = 168 cm

223

Un triangolo rettangolo ha l'area A = 756 cm^2  ed un cateto di 21 cm. Calcola il perimetro sapendo che l'altezza relativa all'ipotenusa è di 20,16 cm...Risultato 168 cm

dati 

AC =21

CH = 20,16

area ABC = 756 

AH*BH = 20,16^2

AH+BH = AB =  21^2/AH → AH*BH+AH^2 = 21^2

{AH*BH = 20,16^2

{AH*BH+AH^2 = 21^2

20,16^2+AH^2 = 21^2 

AH = √21^2-20,16^2 = 5,8800 cm

AC/AH = BC/CH

BC = AC*CH/AH = 21*20,16/5,88 = 72 cm 

AC/AH = AB/AC

AB = AC^2/AH = 21^2/5,88 = 75 cm 

perim = AB+BC+AC = 75+72+21 = 168 cm 

ipotenusa i = 11*5 = 55 cm (terna pitagorica 33, 44 e 55)

perimetro 2p = 11(3+4+5) = 12*11 = 132 cm 

2*300 = 600 = b*3b/8 = 3b^2/8

base b = √600/3*8 = √1600 = 40 cm

altezza h = 40*3/8 = 15 cm 

222)

$\small\text{Area: } A= \dfrac{C×c}{2} = \dfrac{44×33}{2} = 726\,cm^2;$

$\small \text{ipotenusa: } i= \dfrac{2×A}{h} = \dfrac{2×726}{26,4} =  55\,cm;$

$\small \text{perimetro: } 2p= C+c+i = 44+33+55 =  132\,cm.$

ipotenusa i = 2p-(c+C) = 108-(27+36) = 45 cm

h = c*C/i = 9^2*(3*4)/(9*5) = 9*12/5 = 21,60 cm 

223)

$\small\text{Cateto incognito: } C= \dfrac{2×A}{c} = \dfrac{2×756}{21} = 72\,cm;$

$\small\text{ipotenusa: } i= \dfrac{2×A}{h} = \dfrac{2×756}{20,16} = 75\,cm;$

$\small\text{perimetro: } 2p= C+c+i = 72+21+75 = 168\,cm.$

224)

$\small\text{Base: } b= \sqrt{2×300÷\dfrac{3}{8}} = \sqrt{600×\dfrac{8}{3}} = \sqrt{1600}=40\,cm;$

$\small\text{altezza: } h= \dfrac{2×A}{b} = \dfrac{2×300}{40} = \dfrac{600}{40} = 15\,cm.$