Cenni di geometria proiettiva

Lo spazio proiettiivo si ottiene identificando tutte le terne tra loro proporzionali; se in R^3 prendo una retta passante per l'origine questa interseca la sfera unitaria in due punti diametralmente opposti, aventi dunque coordinate opposte e cioè proporzionali tra loro secondo un fattore di proporzionalità pari a - 1, e quindi sono rappresentanti di uno stesso punto nel piano proiettivo

La geometria proiettiva serve a guardare le figure in funzione di alcune proprietà geometriche specifiche: non le misure, quindi non lunghezze o aree, ma l'intersezione fra due figure. E anche la direzione delle rette o dei vettori, segmenti. In questa ottica figure molto diverse possono essere pensate come equivalenti. Il principio di dualità infatti consente di trattare, ad esempio nel piano, rette e punti come interscambiabili in questi ragionamenti geometrici. Nell'esempio citato si accostano due "figure" molto diverse, che "proiettivamente" sono equivalenti. Però per capire davvero tutto questo non bastano poche righe, occorre studiare alcuni esempi, partendo dai casi più semplici, per avvicinarsi gradualmente al caso proposto.

Nello specifico: ogni punto dello spazio R3 può provenire dalla proiezione di un punto delle semisfera. È come quando si proietta il punto di un segmento ( da un punto esterno ) sulla retta. Quindi ogni punto di R3 è associato ad un punto della semisfera. Con una eccezione: consideriamo i due punti, sul bordo "equatoriale" della semisfera, entrambi sullo stesso diametro. Nella nostra proiezione questi due punti vanno a finire entrambi sullo stesso punto di R3.