Salve, potreste aiutarmi con questo esercizio?
All’istante t = 0 viene chiuso l’interruttore nel circuito in figura. Calcolare il valore
massimo della d.d.p. ai capi del condensatore (inizialmente scarico) e la costante di
tempo τ del circuito.
Dati: E = 1 kV, r = 5 kΩ, R = 15 kΩ, C = 10 µF.
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Livello 1
Salve, potreste aiutarmi con questo esercizio?
All’istante t = 0 viene chiuso l’interruttore nel circuito in figura. Calcolare il valore massimo della d.d.p. ai capi del condensatore (inizialmente scarico) e la costante di tempo τ del circuito.
Dati: E = 1 kV, r = 5 kΩ, R = 15 kΩ, C = 10 µF.
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con Kirchhoff
nodo i = ic + ir
m1 E = vc + r*i
m2 0 = R*ir - vc
dove vc = qc/C e ic = dqc/dt
E = vc + r*ic + r*ir ---> E = vc +C*r*dvc/dt + r*vc/R ---> E = C*r*dvc/dt +vc(1 + r/R) ---> 1000 = 10*10^-6*5*10^3*dvc/dt + 4vc/3
che risolta dà
vc(t) = c_1 e^(-(80 t)/3) + 750 ---> integrale generale
tau = 3/80 s
essendo vc(0) = 0 V ---> vc(0) = c_1 e^(-(80*0)/3) + 750 ---> c_1 = - 750
vc(t) =750(1 - e^(-(80 t)/3) ) ---> integrale particolare
la vcmax si ha a regime cioè per t --->oo
vc max = vc(oo) = 750 V
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con Thevenin
togliamo il "carico" C e determiniamo l'equivalente...
Eth = R*E/(r+R) = 15*1000/20 = 750 V
guardiamo ora dal carico tolto , spenta che sia E:
Rth = r*R/(r+R) = 5*15/(5+15) = 15/4 kohm
applichiamo il carico C al gen.equiv.thev. ...
vc(t) = Eth(1-e^(-t/(Rth*C)) = 750(1-e^(-t/(15*10*10^-3/4))
https://www.sosmatematica.it/forum/domande/circuiti-rc-e-differenziali/#post-21562
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Livello 5
$v_C(t)=750*(1-e^{-\frac{80}{3}t})$
quindi la costante di tempo $\tau$ vale $\tau = 3/80=37.5 ms$
la tensione massima sul condensatore vale $750 V$
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Livello 9
@sebastiano ma perché la costante di tempo ha questa espressione? ,e due ripesistenze non risultato in serie a regime?
la costante di tempo ha questa espressione perchè se pensi al circuito equivalente di Thevenin comprensivo di generatore di tensione e delle due resistenze, la resistenza equivalente "vista dai morsetti della capacità" è data dalla resistenza parallela r//R=3750 Ohm. A quel punto la costante di tempo è semplicemente Req*C=0.0375 s.
Le due resistenze a regime sono infatti in serie e la tensione sul condensatore (valore massimo) la puoi calcolare semplicemente mediante un partitore di tensione, ovvero come tensione sulla resistenza R da 15 kOhm. ti viene i 3/4 della tensione del generatore, ovvero 750 V.
@sebastiano Tutto chiaro, grazie mille
@ dialessluca .. viste dal condensatore , le due resistenze sono in parallelo e non in serie
costante di tempo Ƭ = r // R * C
Ƭ = (5*15/20)*10^3*10*10^-6 = 37,5 msec
Vc = 10^3*15/20 = 750 V
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Genius II
