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[Risolto] Carica di un condensatore

  

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Salve, potreste aiutarmi con questo esercizio?

All’istante t = 0 viene chiuso l’interruttore nel circuito in figura. Calcolare il valore

massimo della d.d.p. ai capi del condensatore (inizialmente scarico) e la costante di

tempo τ del circuito.

Dati: E = 1 kV, r = 5 kΩ, R = 15 kΩ, C = 10 µF.

 

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Salve, potreste aiutarmi con questo esercizio?

All’istante t = 0 viene chiuso l’interruttore nel circuito in figura. Calcolare il valore massimo della d.d.p. ai capi del condensatore (inizialmente scarico) e la costante di tempo τ del circuito.

Dati: E = 1 kV, r = 5 kΩ, R = 15 kΩ, C = 10 µF.

...................................

transitorio

con Kirchhoff

nodo  i = ic + ir

m1   E = vc + r*i

m2   0 = R*ir - vc 

dove vc = qc/C     e      ic = dqc/dt

 

E = vc + r*ic + r*ir ---> E = vc +C*r*dvc/dt + r*vc/R   ---> E = C*r*dvc/dt +vc(1 + r/R)   ---> 1000 = 10*10^-6*5*10^3*dvc/dt + 4vc/3

 

che risolta dà 

vc(t) = c_1 e^(-(80 t)/3) + 750   ---> integrale generale

tau = 3/80 s

essendo vc(0) = 0 V   ---> vc(0) = c_1 e^(-(80*0)/3) + 750  --->  c_1   = - 750 

vc(t) =750(1 - e^(-(80 t)/3) )    ---> integrale particolare

trnstr soluz

la vcmax si ha a regime cioè per t --->oo

vc max = vc(oo) = 750 V

..............................................

con Thevenin

togliamo il "carico" C e determiniamo l'equivalente...

Eth = R*E/(r+R) = 15*1000/20 = 750 V

guardiamo ora dal carico tolto , spenta che sia E:

Rth = r*R/(r+R) = 5*15/(5+15) = 15/4 kohm

applichiamo il carico C al gen.equiv.thev. ...

vc(t) = Eth(1-e^(-t/(Rth*C)) = 750(1-e^(-t/(15*10*10^-3/4)) 

trnstr tau

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/circuiti-rc-e-differenziali/#post-21562



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$v_C(t)=750*(1-e^{-\frac{80}{3}t})$

quindi la costante di tempo $\tau$ vale $\tau = 3/80=37.5 ms$ 

la tensione massima sul condensatore vale $750 V$ 

@sebastiano ma perché la costante di tempo ha questa espressione? ,e due ripesistenze non risultato in serie a regime?

@dialessluca

la costante di tempo ha questa espressione perchè se pensi al circuito equivalente di Thevenin comprensivo di generatore di tensione e delle due resistenze, la resistenza equivalente "vista dai morsetti della capacità" è data dalla resistenza parallela r//R=3750 Ohm. A quel punto la costante di tempo è semplicemente Req*C=0.0375 s. 

Le due resistenze a regime sono infatti in serie e la tensione sul condensatore (valore massimo) la puoi calcolare semplicemente mediante un partitore di tensione, ovvero come tensione sulla resistenza R da 15 kOhm. ti viene i 3/4 della tensione del generatore, ovvero 750 V.

@sebastiano Tutto chiaro, grazie mille

@ dialessluca .. viste dal condensatore , le due resistenze sono in parallelo e non in serie



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costante di tempo Ƭ = r // R * C

Ƭ = (5*15/20)*10^3*10*10^-6  = 37,5 msec 

Vc = 10^3*15/20 = 750 V 



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SOS Matematica

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