Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] CARATTERE DELLA SERIE

  

0

salve, potreste aiutarmi a studiare il carattere di questa serie? so per certo che non diverge perché il termine generale tende a 0 per n-> +infinito. ho provato ad applicare tutti i criteri di convergenza ma senza giungere a un risultato

Screenshot 20220111 174236

 

Autore
Etichette discussione
1 Risposta
1

Intanto la serie deve partire da 2, perché ln 1 = 0 e avresti problemi col denominatore :

questo - per la proprietà dell'esponente - equivale a ln (n) * ln (ln(n))

Ora ln x < x

https://www.desmos.com/calculator/cjstunivvh

 

per cui ln (n) * ln(ln(n))  definitivamente, in una regione in cui sono tutti positivi, é

 

minore di ln(n) * ln(n) per cui il reciproco é un maggiorante definitivo di 1/(ln(n)*ln(n))

che a sua volta lo é di 1/(n ln(n)), la quale infine diverge per il criterio dell'integrale,

essendo S_[a,u] 1/(x ln x) dx = [ln ln u - ln ln a ] il cui limite a +oo é +oo.

 

La nostra serie dunque diverge per il criterio del confronto.

 

Nota - L'infinitesimalità all'infinito del termine generale é solo una condizione necessaria per la convergenza, verificata anche dalla serie armonica che é divergente.

 

@eidosm grazie mille, ora lo scrivo e provo a ragionarci su. se c'è qualcosa che non mi è ancora chiaro posso contattarti nuovamente?

Quindi é 1/[ln (ln n)]^(ln n) ?

@eidosm esatto

 

Possiamo provare a fare così. Il carattere della serie é uguale a quello

dell' S_[K,+oo]   1/(ln ln t)^(ln t) dt. Ponendo ln t = u => t = e^u =>

dt = e^u du,    ottieni  S_[K',+oo] 1/(ln u)^u * e^u du=

= S_[K', +oo] (e/ln u)^u du.  Detto L un numero positivo qualsiasi fra 0 e 1

esisterà certamente U tale che   e/ln u < L per u > U

infatti ln u/ e > 1/L =>  ln u > e/L =>  u > U = e^(e/L).

Detto K'' il massimo tra K' e U

 

S_[K'',+oo] (e/ln u)^u du < S_[K'',+oo]  L^u du = [L^u/ln L ]|[K'',+oo] =

= 1/ln (1/L) * [ L^u ]|[+oo, K''] = L^K''/ln(1/L) che é finito. Pertanto la serie converge.

@eidosm non silegge bene

 

@eidosm ...un premio alla fatica 👍




Risposta



About SosMatematica

Seguici su:

Scarica la nostra App Ufficiale

SOS Matematica

GRATIS
VISUALIZZA