salve, potreste aiutarmi a studiare il carattere di questa serie? so per certo che non diverge perché il termine generale tende a 0 per n-> +infinito. ho provato ad applicare tutti i criteri di convergenza ma senza giungere a un risultato
salve, potreste aiutarmi a studiare il carattere di questa serie? so per certo che non diverge perché il termine generale tende a 0 per n-> +infinito. ho provato ad applicare tutti i criteri di convergenza ma senza giungere a un risultato
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Livello 1
Intanto la serie deve partire da 2, perché ln 1 = 0 e avresti problemi col denominatore :
questo - per la proprietà dell'esponente - equivale a ln (n) * ln (ln(n))
Ora ln x < x
https://www.desmos.com/calculator/cjstunivvh
per cui ln (n) * ln(ln(n)) definitivamente, in una regione in cui sono tutti positivi, é
minore di ln(n) * ln(n) per cui il reciproco é un maggiorante definitivo di 1/(ln(n)*ln(n))
che a sua volta lo é di 1/(n ln(n)), la quale infine diverge per il criterio dell'integrale,
essendo S_[a,u] 1/(x ln x) dx = [ln ln u - ln ln a ] il cui limite a +oo é +oo.
La nostra serie dunque diverge per il criterio del confronto.
Nota - L'infinitesimalità all'infinito del termine generale é solo una condizione necessaria per la convergenza, verificata anche dalla serie armonica che é divergente.
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Livello 6
@eidosm grazie mille, ora lo scrivo e provo a ragionarci su. se c'è qualcosa che non mi è ancora chiaro posso contattarti nuovamente?
Quindi é 1/[ln (ln n)]^(ln n) ?
@eidosm esatto
Possiamo provare a fare così. Il carattere della serie é uguale a quello
dell' S_[K,+oo] 1/(ln ln t)^(ln t) dt. Ponendo ln t = u => t = e^u =>
dt = e^u du, ottieni S_[K',+oo] 1/(ln u)^u * e^u du=
= S_[K', +oo] (e/ln u)^u du. Detto L un numero positivo qualsiasi fra 0 e 1
esisterà certamente U tale che e/ln u < L per u > U
infatti ln u/ e > 1/L => ln u > e/L => u > U = e^(e/L).
Detto K'' il massimo tra K' e U
S_[K'',+oo] (e/ln u)^u du < S_[K'',+oo] L^u du = [L^u/ln L ]|[K'',+oo] =
= 1/ln (1/L) * [ L^u ]|[+oo, K''] = L^K''/ln(1/L) che é finito. Pertanto la serie converge.