Provare che se nel gruppo $(G, \cdot)$ è $(a b)^2=a^2 b^2$ per ogni $a, b \in G$, allora $G$ è abeliano.
Provare che se nel gruppo $(G, \cdot)$ è $(a b)^2=a^2 b^2$ per ogni $a, b \in G$, allora $G$ è abeliano.
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Livello 1
E' semplice.
(ab)^2 = (ab)(ab) = abab = a(ba) b = a c b con c = ba
a^2 b^2 = aa bb = a(ab)b = a d b con d = ab
Ora per ipotesi
(ab)^2 = a^2 b^2 per ogni a, b in G
per cui a c b = a d b
Indicando con x* l'inverso di x in G
a*(acb) b* = a*(adb) b*
(a*a) c (bb*) = (a*a) d (bb*)
e c e = e d e
c = d
ba = ab
ed é così provato che G é abeliano.
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Livello 6
@eidosm la ringrazio quindi cambia un pò il procedimento, io feci gli esercizi tipo a * b = a + b - 7, è completamente diverso.