Un'asta omogenea di massa $m=3,0 kg$ è incernierata a $1 / 3$ della sua lunghezza, nel punto $P$ attorno al quale può ruotare.
A quale dei suoi estremi si può appendere una massa $M$ in modo tale che l'asta stia in equilibrio orizzontale'.
Qual è il valore di $M$ ?
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Livello 1
Asta omogenea di massa "m" vuol dire che le masse dei tratti sono proporzionali alle lunghezze e che il baricentro di ciascun tratto è a metà lunghezza.
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Incernierata a un terzo della lunghezza vuol dire che le ascisse d'interesse sono:
* x = 0: estremo libero del braccio corto (un terzo);
* x = 1/6: baricentro del braccio corto;
* x = 1/3: cerniera nel punto P;
* x = 2/3: baricentro del braccio lungo (due terzi);
* x = 1: estremo libero del braccio lungo.
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I momenti delle forze peso attorno alla cerniera P sono:
* + g*(m/3)*1/6 = m*g/18, antiorario (dovuto al peso del braccio corto);
* - g*(2*m/3)*1/3 = - m*g*(4/18), orario (dovuto al peso del braccio lungo).
Quindi il momento orario è il quadruplo di quello antiorario.
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Per ottenere l'equilibrio orizzontale occorre una massa "M" che compensi l'eccesso di momento orario (- m*g*(3/18)) col momento antiorario dovuto al proprio peso per tutto il braccio corto
* M*g*(1/3) = m*g*(3/18)
da cui
* M = m/2
Ovviamente, se m = 3 kg, si deve appendere M = 1.5 kg!
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